UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 33
Uma barra metálica de comprimento com constante de difusividade térmica é isolada termicamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é onde:
Escreva a expressão da temperatura no instante .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.
Mas, apenas nos foi dada a condição inicial na forma matemática. Precisamos ainda escrever a EDP em si, bem como a condição de fronteira.
Sobre a EDP é falado que a constante de difusividade térmmia , assim temos:
Além disso, também foi falado que os extremos estão isolados termicamente, assim vale que:
Assim, podemos montar o seguinte probleminha:
Excelente! Pra resolver esse tipo de problema podemos atacá-lo usando o método de separação de variáveis:
Bora lá!
Passo 2
Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:
E, substituindo na EDP, vem:
A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independentemente do valor de e de , é se tivermos:
onde é uma constante.
Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:
E:
Beleza!
Daí precisamos analisar os possíveis valores de :
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Como não queremos a solução trivial:
Logo:
Daí, temos:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Daí, temos uma solução:
Massa!
- Se , então:
Como:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito.
Passo 3
Substituindo agora o valor que encontramos para na EDO em , teremos que:
Logo:
Daí, juntando todas as soluções de e , e lembrando que:
Chegamos que:
Pra matar a questão precisamos apenas descobrir quanto vale , e é justamente aí que entra nossa condição inicial, , dada no problema.
Ou seja gente, a nossa solução da EDP para é justamente a extensão par e periódica de .
Assim, o coeficiente para são os coeficientes da série de Fourier de , que podem ser calculados como:
Massa! Nossa missão então se resume a resolver essas três integrais.
Passo 4
Começando pela primeira integral, temos:
Já na segunda integral, vamos ter:
Para resolvê-la podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos revisá-lo:
Logo, fazendo:
Assim:
Daí, vamos ter:
Perfeito!Vamos agora para a última integral:
Juntando tudo, vamos ficar com:
Logo:
Prontinho! Matamos mais uma questão, até a próxima 😊