UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 32
Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma
que satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.
Passo 1
Fala aí galera, tudo beleza?
Nessa questão recebemos a função:
E, o enunciado nos pede para provar que todas as funções na forma acima que satisfazem a equação do calor onde as extremidades da barra estão isoladas devem ser nulas.
A equação do calor diz que:
onde é uma constante.
A condição de fronteira que expressa que as extremidades da barra estão isoladas é dada por:
ou seja, a derivada de com relação a nas extremidades da barra é nula.
Para provar que a função na forma dada que satisfaz essas condições é a função nula, vamos aplicar as condições de fronteira em
Vamo nessa!
Passo 2
Como as extremidades da barra estão isoladas, devemos ter que:
Calculando a derivada parcial da função dada vamos ter:
Aplicando , temos:
Como não queremos, a princípio, a solução trivial, vem que:
Daí:
Vamos agora aplicar a outra condição de fronteira:
Para isso ser verdade é necessário que:
Mas, se , temos:
Portanto, é a função nula!
Isso é exatamente o que queríamos provar 😊
Pegaram a ideia? Até a próxima pessoal!
Resposta
Resposta no texto.