Considere uma barra uniforme de comprimento , com distribuição inicial de temperatura , . Suponha que a temperatura na extremidade é mantida a , enquanto a extremidade está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.
Encontre uma expansão em série para a temperatura da barra em função de .
Passo 1
Primeiro, temos que escrever matematicamente o que o problema nos deu.Temos a equação de calor:
E a temperatura inicial
O problema diz também que a temperatura em é fixada em zero:
E a outra extremidade está isolada, portanto:
Como o problema não deu o valor de , já sabemos que a solução deve estar em função dessa condição, né?
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis. Procuramos uma solução do tipo
Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:
Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 3
Resolver o problema de contorno. Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Bom, esse problema não é nenhum conhecido, né? Temos uma mistura das condições de Dirichlet com as de Neumann homogêneas, ou seja: um problema qualquer. Bom, vamos resolver então o problema de valor de contorno.
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Como não sabemos o valor de , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.
Isso ocorre quando:
Então, para o 3º caso, a solução geral é:
Passo 4
Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Agora precisamos resolver o problema em , não é? Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Veja que, substituindo na série, temos :
Então, podemos entender essa série como uma representação por Série de Fourier de senos da função . Fazendo uma extensão ímpar de , temos, então:
Resposta
Onde