UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 41d
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura e , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:
onde e são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.
Suponha que e são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).
Passo 1
Olá gente bonita, como vocês estão?
Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura e . Posteriormente o enunciado nos fala que:
Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.
Usando essas informações montamos, no item anterior, o seguinte PVI com condições de fronteira para a equação de calor:
Agora o enunciado nos pede para resolver o problema acima.
Para isso vamos usar o método de separação de variáveis.
Vamo nessa!
Passo 2
Usando o método de separação de variáveis, dizemos que:
Daí, substituindo na equação do calor, vem:
onde .
Daí tiramos duas EDO’s:
e:
Resolvendo a primeira EDO, se encontramos apenas as soluções triviais. Daí, temos o caso , cujos autovalores valem:
De onde vem que:
Substituindo o autovalor na EDO em , temos:
Daí, temos a seguinte solução:
Pelo princípio da superposição, concluímos que a solução formal é:
onde esse vale:
Ou seja, são os coeficientes da expansão da série de Fourier de em senos. Mas, como no enunciado não foi dada a condição inicial, essa solução formal é o máximo que conseguimos detalhar do nosso problema.
Com isso matamos mais uma questão gente! Muito obrigado pela atenção de vocês!
Até a próxima 😉