UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 29d
Considere a condução do calor em uma barra de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de para todo .
Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que .
Passo 1
E aí galerinha, tudo bem?
Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.
O enunciado não deu pra gente o problema bonitinho com a equação diferencial e as condições de fronteira. Mas, tem algumas informações no enunciado que vão nos ajudar a modelar o problema.
A primeira coisa é que se trata de um problema de equação de calor, onde a constante vale .
O problema da equação do calor (que é basicamente a temperatura ao longo de uma barra), é dado de forma genérica por:
Como foi dito pelo enunciado que a constante vale , podemos escrever a EDP como:
Já sobre a condição de fronteira, o enunciado afirma que as extremidades da barra são mantidas à temperatura de . Então, temos:
Perfeito!
Juntando isso com a nossa condição inicial, podemos montar o nosso problema completo como:
onde:
Muito bom, gente! Agora que montamos o problema, vamos resolvê-lo 😉
Passo 2
Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:
E, substituindo na EDP, vem:
A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independente do valor de e de , é se tivermos:
onde é uma constante.
Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:
E:
Começando pelo primeiro problema, temos:
Temos a seguinte equação característica:
Daí precisamos analisar os possíveis valores de :
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Logo:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...
- Se , então:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito!
Passo 3
Então pessoal, podemos agora substituir os autovalores que encontramos no problema da EDO em :
Da primeira equação, já temos:
Daí, substituindo:
Temos:
Logo, lembrando que:
Temos:
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Pela própria definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinação lineares de soluções desse tipo também satisfazem às EDO’s.
É aí que entra a nossa solução formal, ela representa a forma geral de todas as soluções da nossa EDP. Escrevemos:
Perfeito!
Passo 4
Massa! Já encontramos a solução formal, mas ainda temos um pequeno problema...
Não usamos a condição:
em nenhum momento da solução. Então, a solução formal que encontramos ainda precisa atender também a essa condição. Daí, fazendo na solução formal, encontramos:
Isso lembra algo a vocês?
É como se tivéssemos uma função:
E, quiséssemos encontrar a série de Fourier dela apenas em senos.
Uaaaau, essa sacada é boa né? Vale a pena anotar haha
Daí, quem seriam os coeficientes ? Seriam justamente os coeficientes da nossa expansão de em série de Fourier.
Mas, antes de calcularmos precisamos expandir o intervalo de de modo que ela seja ímpar e periódica de período .
Tranquilo, então como queremos que seja ímpar e periódica podemos defini-la como:
O enunciado nos pede pra perguntar se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos. Analisando essa definição vemos que ela é satisfeita para . Os grandes candidatos a se tornarem um problema nesse tipo de situação são os pontos da extremidade. Pois, como a função é periódica, mas não necessariamente contínua, pode ser necessário definir os pontos da extremidade diferente do restante.
Mas, nesse caso, temos:
Então, está tudo bem 😊
Tranquilo?
Perfeito! Assim temos ímpar e periódica, de período .
Logo, temos que:
Como é definida por partes, precisamos separar a integral nos respectivos intervalos da definição de . Assim, vamos ficar com:
Temos integrais pra resolver! Vamos matar cada uma delas 😊
Passo 5
Como as integrais:
E:
São muito parecidas, mudam apenas os limites de integração. Vamos resolver a integral:
E, no final substituímos os limites de integração em cada uma delas.
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Aí, no caso da primeira integral, temos:
Vamos ficar com:
Substituindo os limites de integração:
Beleza, por enquanto deixamos assim.
No caso da segunda integral:
Então:
Beleza! Então já matamos as duas integrais mais cabeludas!
Por fim, precisamos resolver:
Substituindo os limites de integração:
Show de bola!
Passo 6
Voltando para :
Substituindo os resultados que encontramos no item anterior, vamos ter:
Simplificando um pouco alguns termos que aparecem em comum, temos:
Logo:
Daí, se for par:
Se for ímpar:
Podemos então finalmente substituir na nossa solução formal para encontrarmos a solução do problema pedido respeitando a EDF, condições de fronteira, e condições iniciais.
(trocamos por pois os coeficientes para par são nulos).
Ufaaaaaaa!! Nossa, parecia que não ia acabar nuncaaa!!
Mas terminamos pessoal!
Muito obrigado pela atenção de vocês, esperam que todos tenham entendido supeeeer bem 😉