Responde Aí
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Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - 2021.1, Questão 42e

Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(e)   f ( x )   = 0 ,   g ( x ) = s e n ( π L x ) c o s 2 ( π L x ) .  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver o problema encontrando a função de onda u ( x ,   t ) que obedece às condições:

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

Sendo,

f ( x )   = 0 ,   g ( x ) = s e n ( π L x ) c o s 2 ( π L x ) .

Vamos utilizar algumas relações já conhecidas que foram explicadas no Responde Aí na seção de Cálculo: Série de Fourier e EDP, Tópico 5: EDP - Equações da Onda. Também vamos utilizar alguns resultados de integrais já conhecidos e algumas relações trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos lembrar que para o problema:

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

Com f ( x ) = 0 , temos, pelo material do Responde Aí na seção de Cálculo: Série de Fourier e EDP, Tópico 5: EDP - Equações da Onda, que a solução é dada pela série de Fourier:

u ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   b n   s e n (   n π L x )   s e n (   n π   c L t ) ]

com o coeficiente sendo obtido pela relação:

b n = 1 n π c ∫ - L L g ( x )   s e n (   n π L x )   d x   ,   n   = 1 ,   2 ,   .   .   .  

Então, para obtermos a solução temos apenas que calcular esses coeficientes.

Passo 3

Vamos manipular a função para ela ser soma de senos e cossenos, pois dessa forma no momento que calcularmos os coeficientes da série as integrais já conhecidas irão aparecer. Então, utilizando as identidades trigonométricas:

c o s 2   ( α )   =   1   +   c o s ( 2 α ) 2 ,  

s e n ( α )   c o s ( β )   =   s e n ( α   +   β )   +   s e n ( α   −   β )   2  

Temos então que:

g ( x )   = s e n ( π L x ) c o s 2 ( π L x ) = s i n ( π L x )   1   +   c o s ( 2 π L x ) 2

g ( x ) =   s i n ( π L x )   +   s i n ( π L x ) c o s ( 2 π L x ) 2 =   s i n ( π L x ) 2 +   s i n ( 3 π L x ) - s i n ( π L x ) 4

g ( x ) =   s i n ( π L x ) 2 +   s i n ( 3 π L x ) 4 -   s i n ( x ) 4 =     s i n ( π L x ) 4 +   s i n ( 3 π L x ) 4

Passo 4

Temos que:

g ( x )   = s e n ( π L x ) c o s 2 ( π L x ) = 1 4 [ s e n ( π L x ) + s e n ( 3 π L x ) ]

Substituindo em b n :

b n = 1 n π c ∫ - L L g ( x )   s e n (   n π L x )   d x  

b n = 1 n π c ∫ - L L 1 4 ( s e n ( π L x ) + s e n ( 3 π L x ) )   s e n (   n π L x )   d x

Agora temos que lembrar das seguintes relações:

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .     n   ≠ m   ;

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   .

Então temos que as integrais de b n só serão diferentes de zero para n = 1 e   n = 3 , então teremos o coeficiente:

b 1 = 1 π c ∫ - L L 1 4 s e n 2 ( π L x )   d x = 1 4 π c L ;

b 3 = 1 3 π c ∫ - L L 1 4 s e n 2 ( 3 π L x )   d x = 1 12 π c L ;

Passo 5

Assim podemos escrever a solução:

u ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   b n   s e n (   n π L x )   s e n (   n π   c L t ) ]

u ( x , t ) = 1 4 π c L   s e n (   π L x )   s e n (   π   c L t ) + 1 12 π c L   s e n ( 3   π L x )   s e n (   3 π   c L t ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = 1 4 π c L   s e n (   π L x )   s e n (   π   c L t ) + 1 12 π c L   s e n ( 3   π L x )   s e n (   3 π   c L t ) .

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