Responde Aí
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Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - 2021.1, Questão 42c

Resolva o problema

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

(c)   f ( x )   = 3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) ,   g ( x ) = 1 2 s e n ( 2 π L x ) .  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver o problema encontrando a função de onda u ( x ,   t ) que obedece às condições:

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

Sendo,

f ( x )   = 3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) ,   g ( x ) = 1 2 s e n ( 2 π L x ) .

Vamos utilizar algumas relações já conhecidas que foram explicadas no Responde Aí na seção de Cálculo: Série de Fourier e EDP, Tópico 5: EDP - Equações da Onda. Também vamos utilizar alguns resultados de integrais já conhecidos e algumas relações trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos lembrar que para o problema:

∂ t 2 u   =   c 2 ∂ x 2 u , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( L , t ) = 0 ;

u ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t u ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

Para esse caso temos, pelo material do Responde Aí na seção de Cálculo: Série de Fourier e EDP, Tópico 5: EDP - Equações da Onda, que podemos escrever a solução da seguinte forma:

u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )

onde, v ( x , t ) obedece

∂ t 2 v   =   c 2 ∂ x 2 v , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

v ( 0 , t ) = 0 ,   v ( L , t ) = 0 ;

v ( x ,   0 )   =   f ( x ) ∂ t v ( x ,   0 )   =   0 .

e sua solução é:

v ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   a n   s e n (   n π L x )   c o s (   n π   c L t ) ]

com o coeficiente sendo obtido pela relação:

a n = 1 L ∫ - L L f ( x )   s e n (   n π L x )   d x   ,   n   = 1 ,   2 ,   .   .   .  

E, w ( x , t ) obedece

∂ t 2 w   =   c 2 ∂ x 2 w , 0   ≤   x   ≤   L ,   t   >   0 ;

w ( 0 , t ) = 0 ,   w ( L , t ) = 0 ;

w ( x ,   0 )   =   0 ∂ t w ( x ,   0 )   =   g ( x ) .

e sua solução é:

w ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   b n   s e n (   n π L x )   s e n (   n π   c L t ) ]

com o coeficiente sendo obtido pela relação:

b n = 1 n π c ∫ - L L g ( x )   s e n (   n π L x )   d x   ,   n   = 1 ,   2 ,   .   .   .  

Então, para obtermos a solução temos apenas que calcular esses coeficientes a n e b n .

Passo 3

Obtendo a solução v ( x , t ) . Temos que:

f ( x )   =   3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x )

Substituindo em a n :

a n = 1 L ∫ - L L ( 3   s e n ( π L x )   −   s e n ( 4 π L x ) )   s e n (   n π L x )   d x

a n = 1 L ∫ - L L ( 3   s e n ( π L x )   s e n (   n π L x )     −   s e n ( 4 π L x )   s e n (   n π L x )   ) d x

Agora temos que lembrar das seguintes relações:

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .     n   ≠ m   ;

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   .

Então temos que as integrais de a n só serão diferentes de zero para   n = 1 e   n = 4 , então teremos os coeficientes:

a 1 = 3 L ∫ - L L   s e n 2 ( π L x ) d x = 3 L L = 3 ;

a 4 = - 1 L ∫ - L L   s e n 2 ( 4 π L x ) d x = - 1 L L = - 1 .

Passo 4

Assim podemos escrever a solução:

v ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   a n   s e n (   n π L x )   c o s (   n π   c L t ) ] = 3   s e n (   π L x )   c o s ( π   c L t ) - s e n (   4 π L x )   c o s (   4 π   c L t )

v ( x , t ) = 3   s e n (   π L x )   c o s ( π   c L t ) - s e n (   4 π L x )   c o s (   4 π   c L t ) .

Passo 5

Obtendo a solução w ( x , t ) . Temos que:

g ( x )   =   1 2 s e n ( 2 π L x )

Substituindo em b n :

b n = 1 n π c ∫ - L L g ( x )   s e n (   n π L x )   d x  

b n = 1 n π c ∫ - L L 1 2 s e n ( 2 π L x )   s e n (   n π L x )   d x

Agora temos que lembrar das seguintes relações:

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .     n   ≠ m   ;

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   .

Então temos que as integrais de b n só serão diferentes de zero para   n = 2 , então teremos o coeficiente:

b 2 = 1 2 π c ∫ - L L 1 2 s e n 2 ( 2 π L x )   d x = 1 4 π c L ;

Passo 6

Assim podemos escrever a solução:

w ( x , t ) = Σ ∞ n = 1 [   b n   s e n (   n π L x )   s e n (   n π   c L t ) ] = 1 4 π c L   s e n (   2 π L x )   s e n (   2 π   c L t )

w ( x , t ) = L 4 π c   s e n (   2 π L x )   s e n (   2 π   c L t ) .

Passo 7

Sendo,

u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )

Então,

u ( x , t ) = 3   s e n (   π L x )   c o s ( π   c L t ) - s e n (   4 π L x )   c o s (   4 π   c L t ) + L 4 π c   s e n (   2 π L x )   s e n (   2 π   c L t ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = 3   s e n (   π L x )   c o s ( π   c L t ) - s e n (   4 π L x )   c o s (   4 π   c L t ) + L 4 π c   s e n (   2 π L x )   s e n (   2 π   c L t ) .

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