Considere uma barra de alumínio com cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme . Suponha que, no instante , a extremidade é esfriada a , enquanto a extremidade é aquecida a e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.
Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante .
Passo 1
Bom, antes de tudo, precisamos escrever matematicamente tudo o que o enunciado nos disse. Temos uma barra com comprimento . Sabemos que a temperatura inicial é
E que as temperaturas nas extremidades são fixadas em
Temos também a equação de calor
Passo 2
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (embora um lado tenha temperatura fixada em zero, o outro é fixado em 60), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Passo 3
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Passo 4
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Se você reparar, nós temos
Aplicando a separação de variáveis:
Substituindo na equação de calor:
O que nos dá
Aplicando a separação de variáveis para as condições de :
Passo 5
Temos agora que resolver o problema de contorno em :
Bom, chegamos a um problema de Dirichlet homogêneo,que já conhecemos a solução, mas vamos resolver aqui passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 6
Tendo o valor de , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como vimos no capítulo passado, sua solução é
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Essa é a solução fundamental , nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, então, podemos escrever:
Certo?
Passo 7
Beleza, mas esse não serve de nada se não tivermos os coeficientes , né? Para encontrá-los, vamos usar a condição que está faltando
Aqui tem um detalhe diferente. Repare que a condição é sobre , não sobre ! Mas nós sabemos que , não é? Então vamos usar isso:
Agora sim, podemos usar a condição:
Precisamos então encontrar o . Vendo essa série como uma Série de Fourier de senos, temos:
Integrando por partes, encontramos:
Resposta
Onde