UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 41b
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura e , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:
onde e são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.
Suponha que e são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
Determine que condições de fronteira deve satisfazer para que uma solução fatorada da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.
Passo 1
E aí gente, tudo bom?
Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura e . Posteriormente o enunciado nos fala que:
Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.
Usando essas informações montamos, no item anterior, o seguinte PVI com condições de fronteira para a equação de calor:
Agora o enunciado nos pergunta quais as as condições de fronteira a função deve satisfazer para que possamos ter uma solução do tipo:
Então, vamos substituir essa solução separável nas nossas condições de fronteira de e descobrir as condições que deve satisfazer.
Vamo nessa!
Passo 2
Temos:
Mas, das condições de fronteira do problema que montamos, temos:
Daí, como:
Vamos ter:
Temos o produto de duas funções. Se , então temos uma solução trivial. Pois, a barra precisaria estar nula em todo o seu comprimento em qualquer instante de tempo.
Sendo assim, temos:
Analogamente:
Portanto, a nossa função deve satisfazer as condições de fronteira:
E aí, entenderam bem? Responde Aí!