UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 29a
Considere a condução do calor em uma barra de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de para todo .
Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que .
Passo 1
E aí galerinha, tudo bem?
Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.
O enunciado não deu pra gente o problema bonitinho com a equação diferencial e as condições de fronteira. Mas, tem algumas informações no enunciado que vão nos ajudar a modelar o problema.
A primeira coisa é que se trata de um problema de equação de calor, onde a constante vale .
O problema da equação do calor (que é basicamente a temperatura ao longo de uma barra), é dado de forma genérica por:
Como foi dito pelo enunciado que a constante vale , podemos escrever a EDP como:
Já sobre a condição de fronteira, o enunciado afirma que as extremidades da barra são mantidas à temperatura de . Então, temos:
Perfeito!
Juntando isso com a nossa condição inicial, podemos montar o nosso problema completo como:
Muito bom, gente! Agora que montamos o problema, vamos resolvê-lo 😉
Passo 2
Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:
E, substituindo na EDP, vem:
A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independente do valor de e de , é se tivermos:
onde é uma constante.
Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:
E:
Começando pelo primeiro problema, temos:
Temos a seguinte equação característica:
Daí precisamos analisar os possíveis valores de :
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Logo:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...
- Se , então:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito!
Passo 3
Então pessoal, podemos agora substituir os autovalores que encontramos no problema da EDO em :
Da primeira equação, já temos:
Daí, substituindo:
Temos:
Logo, lembrando que:
Temos:
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Pela própria definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinação lineares de soluções desse tipo também satisfazem às EDO’s.
É aí que entra a nossa solução formal, ela representa a forma geral de todas as soluções da nossa EDP. Escrevemos:
Perfeito!
Passo 4
Massa! Já encontramos a solução formal, mas ainda temos um pequeno problema...
Não usamos a condição:
em nenhum momento da solução. Então, a solução formal que encontramos ainda precisa atender também a essa condição. Daí, fazendo na solução formal, encontramos:
Isso lembra algo a vocês?
É como se tivéssemos uma função:
E, quiséssemos encontrar a série de Fourier dela apenas em senos.
Uaaaau, essa sacada é boa né? Vale a pena anotar haha
Daí, quem seriam os coeficientes ? Seriam justamente os coeficientes da nossa expansão de em série de Fourier.
Mas, antes de calcularmos precisamos expandir o intervalo de de modo que ela seja ímpar e periódica de período .
Tranquilo, então como queremos que seja ímpar e periódica podemos defini-la como:
O enunciado nos pede pra perguntar se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos. Analisando essa definição vemos que ela não é satisfeita para e . Isso porque, para podermos determinar os coeficientes através da série de Fourier, precisamos que a função seja ímpar, e para ela ser ímpar não podemos ter ou . Tranquilo?
Perfeito! Assim temos ímpar e periódica, de período .
Logo, temos que:
Daí:
- Se é par:
- Se é ímpar:
Daí, substituindo na nossa solução formal, finalmente obtemos a nossa solução do problema proposto nesse item:
(trocamos por pra considerar apenas os casos em que é ímpar).
Perfeito! Essa é a solução da EDP com as respectivas condições de fronteira, e condições iniciais.
Ufaa! Terminamos!!
Deu trabalho, mas saiu! Obrigado pela atenção gente 😉