UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 37
Determine a solução estacionária do problema de condução do calor
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos a seguinte equação diferencial (ED)
;
com as condições de fronteira (CF)
e condições iniciais (CI)
Aqui temos uma equação diferencial que rege a evolução temporal e espacial da temperatura em um barra metálica de comprimento , as extremidades da barra estão a temperaturas diferentes, e ela tem uma distribuição de temperatura inicial dada por . O problema quer uma solução estacionária, portanto, uma solução da forma
Vamos aplicar isso em nossa equação diferencial! Bora lá!
Passo 2
Aplicando em nossa equação diferencial temos que
;
note que mudei as derivadas parciais para derivadas totais, já que a função depende apenas de , temos então equação diferencial de segunda ordem. Podemos separar as variáveis da seguinte maneira
multiplicando os dois lados por , temos que
integrando de ambos os lados, temos
Mas como diabos resolver isso? Vamos tentar deixar um pouco mais fácil de visualizar!
Passo 3
Vamos mudar o nome da função na integral, temos que
de forma que a integral se torna
agora, podemos integrar os ambos lados e obter
portanto, temos que
voltando para a nossa definição original, temos que
Temos que integrar novamente! Vamos fazer isso!
Passo 4
Agora é mais simples de realizar a integração, temos que
de forma que obtemos
Agora, para achar essas constantes de integração, precisamos avaliar as condições de contorno do problema
como a solução estacionária é independente do tempo, as condições de contorno implica somente que
e
de forma que obtemos duas equações da forma
e
da primeira equação temos que , e portanto, temos que a segunda equação resulta em
ou simplesmente
sendo assim, a nossa solução estacionária é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!