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Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 7

Verifique que para cada n ∈ N , a função:

u n x , t = e - n π L 2 k t s e n n π L x

Satisfaz a equação do calor ∂ t u = k ∂ x 2 u .

Passo 1

E aí gente, tudo na paz com vocês?

Nesse exercício recebemos a função dada por:

u n x , t = e - n π L 2 k t s e n n π L x

onde n está nos naturais.

E, precisamos verificar que essa função é sempre solução da equação do calor dada por:

∂ t u = k ∂ x 2 u

Então, pra fazer isso precisamos calcular as derivadas parciais de u n para substituir na nossa equação e verificar se a igualdade permanece válida.

Bora nessa!

Passo 2

Temos a função:

u n x , t = e - n π L 2 k t s e n n π L x

Calculando primeiro a derivada com relação ao tempo, temos:

u t = s e n n π x L ⋅ ∂ e - n π L 2 k t ∂ t

Daí, vem:

u t = - n π L 2 k ⋅ s e n n π x L ⋅ e - n π L 2 k t

Massa! Vamos então calcular a derivada parcial com relação a x :

u x =   e - n π L 2 k t ⋅ ∂ s e n n π x L ∂ x

= n π L ⋅ e - n π L 2 k t ⋅ cos ⁡ n π x L

Derivando mais uma vez com relação a x :

u x x = n π L ⋅ e - n π L 2 k t ⋅ ∂ cos ⁡ n π x L ∂ x

= n π L 2 ⋅ e - n π L 2 k t ⋅ - s e n n π x L  

Muito bom!

Passo 3

Agora que já temos os termos u t e u x x podemos substituir na nossa equação:

∂ t u = k ∂ x 2 u

∴ ∂ t u - k ∂ x 2 u = 0

Logo:

- n π L 2 k ⋅ s e n n π x L ⋅ e - n π L 2 k t - k ⋅ - n π L 2 k ⋅ s e n n π x L ⋅ e - n π L 2 k t

= - k n π L 2 ⋅ s e n n π x L ⋅ e - n π L 2 k t + k ⋅ n π L 2 ⋅ s e n n π x L ⋅ e - n π L 2 k t

= 0

Olha aí! A igualdade da nossa EDP foi obedecida.

Portanto, para cada n ∈ N , vale que u n é solução da EDP dada.

Uhuuull! Entendeu galera?

É isso então, muito obrigado pela atenção 😉

Resposta

Resposta no texto.

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