Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

3) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

c) ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 3 - y 3 cos ⁡ x 2 z d x d y d z = ? ? ?

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver essa integral tripla toda feiosa...

Repara que se formos tentar resolver assim do jeito que dá vai dar muuuuito trabalho... (isso se a gente conseguir)...

Como as letras anteriores são mudando a ordem de integração e mudança de coordenada. Essas são duas opções que podemos fazer.

A resposta da letra b, que é a mudança de variável ficou maaaais feia ainda, então vamos descarta-la.

Já a resposta da letra a:

∫ 0 3 ∫ 0 3 ∫ 0 x 3 cos ⁡ x 2 z d y d x d z

Parece que não mudou muita coisa, mas ela ficou mais ok pra resolver sim. Vem cá que vou te mostrar.

Passo 2

Integrando em y :

∫ 0 3 ∫ 0 3 ∫ 0 x 3 cos ⁡ x 2 z d y d x d z = ∫ 0 3 ∫ 0 3 y cos ⁡ x 2 z 0 x 3 d x d z

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 x cos ⁡ x 2 3 z d x d z

Integrando em x :

∫ 0 3 ∫ 0 3 x cos ⁡ x 2 3 z d x d z = ∫ 0 3 sen ⁡ x 2 2 3 z 0 3 d z

= ∫ 0 3 sen ⁡ 3 2 3 z 0 3 d z

Resolvendo em z :

∫ 0 3 sen ⁡ 3 2 3 z 0 3 d z = sen ⁡ 3

Resposta

sen ⁡ 3

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