Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

  1. Seja

I = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x

Reescreva a integral I na ordem d x d y d z .

Passo 1

Pow, infelizmente o sólido não nos está desenhado, por isso esse será o nosso primeiro trabalho aqui. Mas não se preocupe, pois tudo o que temos que fazer é pegar as informações de limites da própria integral. Veja!

0 ≤ z ≤ 1 - y 2

x ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1

Pow, principalmente desses dois primeiros intervalos tiramos 2 superfícies muito importantes:

z = 1 - y 2   ( r e p r e s e n t a d o   d e   r o s a )

y = x   ( r e p r e s e n t a d o   d e   v e r m e l h o )

Que se desenharmos essas duas superfícies juntas, obtemos...

Esse já é basicamente o sólido que estamos trabalhando! Repare que ele está no primeiro octante, afinal de contas 0 ≤ x , 0 ≤ z e x ≤ y que é um cara positivo, sacou?

Passo 2

O que temos que fazer agora basicamente é mudar para a ordem indicada: d x d y d z .

Pensa comigo, se queremos o d x primeiro, então basicamente precisamos descrever esse sólido como do T I P O   3 , onde temos que o x deve variar entre superfícies.

Se observar essa setinha preta, ela indica que o x no sólido sai da parede x = 0 e chega nessa superfície.

0 ≤ x ≤ y 2

Como a superfície é y = x , isolando x ...

0 ≤ x ≤ y 2

Quanto à variação de z e y , bem... Bora olhar a projeção desse cara no plano Y Z ! :D

Passo 3

Pow! esse tipo de projeção é bem easy de se fazer: basta que olhemos para o sólido, mas dessa vez como se colocássemos o nosso olho em cima do eixo x e olhássemos de ladinho:

Repare que todo o sólido está preso pelo cilindro parabólico rosa... z = 1 - y 2 (que é esse pedacinho de parábola aí no plano Y Z ) e preso também no primeiro quadrante.

Mas enfim, temos que descrever essa região aí do tipo 2 se quisermos d y d z , saca?

Então o y é o cara que

0 ≤ y ≤ P a r á b o l a   r o s a

Como a parábola é z = 1 - y 2 ... Isolando o y :

- y 2 = z - 1         →         y 2 = 1 - z           →                 y 1 = 1 - z y 2 = - 1 - z

Queremos a parte de cima apenas, então

0 ≤ y ≤ 1 - z

Em relação a z , bem, ele varia de 0 até o ponto da parábola onde y = 0 ...

z = 1 - y 2         →           z = 1

Logo

0 ≤ z ≤ 1

Passo 4

Pow! Agora basta remontar a integral tripla considerando as novas variações

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 1 - z

0 ≤ z ≤ 1

então

∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 y 2 d x d y d z

Resposta

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ 0 y 2 d x d y d z

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