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Exercícios Resolvidos de Mudança da Ordem de Integração

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFMG - Lista 1, Questão 11

Calcule

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ( y e x 2 + y 2 )   d x   d y .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ( y e x 2 + y 2 )   d x   d y .

Note que o integrando é um pouco complicado, principalmente porque, pela forma que a integral está escrita, temos que começar a integrar em x. Porém conseguimos fazer algumas modificações nos limites de integração e mudar essa ordem de integração. Essa mudança nos ajudará a resolver a integral de uma forma mais simples. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro temos que os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 1 - y 2       e   - 1 ≤ y ≤ 1

Desta forma, olhando para esses limites, temos que a região é um semicírculo de raio 1 , pois temos

x 2   + y 2   = 1

Ou seja, também podemos escolher escrever y(x) e ter os seguintes limites de integração:

0 ≤ x ≤ 1     e   - 1 - x 2   ≤ y ≤ 1 - x 2  

Passo 3

Montando a integral com esses novos limites, temos que a ordem de integração irá mudar. Então,

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ( y e x 2 + y 2 )   d x   d y = ∫ 0 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ( y e x 2 + y 2 )   d y   d x

Então vamos calcular essa integral. Começamos resolvendo as integrais simples em y

∫ 0 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ( y e x 2 + y 2 )   d y   d x = ∫ 0 1 [ ( y 2 2 e x 2 + y 3 3 )   | - 1 - x 2 1 - x 2   ] d x

substituindo os limites de integração

∫ 0 1 [ ( ( 1 - x 2 ) 2 2 - ( - 1 - x 2 ) 2 2 ) e x 2 + ( ( 1 - x 2 ) 3 3 + ( 1 - x 2 ) 3 3 )   ] d x = ∫ 0 1 2 ( 1 - x 2 ) 3 3 d x

Note que o termo complicado e x 2 foi eliminado por meio dessa mudança nos limites de integração.

Passo 4

Passo 5

Agora temos que resolver a integral em x

∫ 0 1 2 ( 1 - x 2 ) 3 3 d x

Fazendo a substituição trigonométrica x = s i n θ   e d x = c o s θ d θ , os limites 0 ≤ x ≤ 1 vão para 0 ≤ θ ≤ π / 2 . Assim, lembrando que s i n θ 2 + c o s θ 2 = 1 , temos

∫ 0 1 2 ( 1 - x 2 ) 3 3 d x = 2 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 - s i n θ 2 ) 3 c o s θ d θ = 2 3 ∫ 0 π / 2 c o s θ 4 d θ

Lembrando da relação c o s θ 2 = 1 2 + 1 2 c o s 2 θ e substituindo na integral

2 3 ∫ 0 π / 2 c o s θ 4 d θ = 2 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 2 + 1 2 c o s 2 θ ) 2 d θ = 2 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 4 + c o s 2 θ + 1 4 ( c o s 2 θ ) 2 ) d θ

Usando novamente a relação

2 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 4 + c o s 2 θ + 1 4 ( c o s 2 θ ) 2 ) d θ = 2 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 4 + c o s 2 θ + 1 8 + 1 8 c o s 4 θ ) d θ

Resolvendo as integrais por substituições simples, temos

2 3 ∫ 0 π / 2 ( 3 8 + c o s 2 θ + 1 8 c o s 4 θ ) d θ = 2 3 [ ( 3 8 θ + 1 2 s i n 2 θ + 1 32 s i n 4 θ ) | 0 π / 2 ] = 2 3 3 8 π 2 = π 8 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ( y e x 2 + y 2 )   d x   d y = π 8 .

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