Seja o espaço vetorial formado pelas funções contínuas de em , e nele consideremos o produto interno . Seja o subespaço de dado por
Mostre que é uma base ortogonal de .
Encontre a função de que melhor aproxima a função
Obs.: É dado que
Passo 1
Para mostramos que é base ortogonal de , basta mostrarmos que são ortogonais. Então:
Como temos um conjunto gerador de que é ortogonal, ele é uma base ortogonal de .
Passo 2
A função de que melhor aproxima é simplesmente a projeção de sobre ! E como é uma base ortogonal de , a projeção é dada por:
Calculando os produtos internos:
Passo 3
Substituindo:
Resposta