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Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

A3 T17

Seja q → 1 , q → 2 , q → 3 uma base ortonormal do subespaço H ⊂ V e seja v → ∈ V , v → ∉ H . Considere o vetor

w → = v → - v → , q → 1 q → 1 - v → , q → 2 q → 2 - v → , q → 3 q → 3

(Aqui, x → , y → denota o produto interno de x → e y → )

Pode-se afirmar que:

( a ) w → = P H v → , onde P H denota a projeção ortogonal sobre H .

( b ) q → 1 , q → 2 , q → 3 , w → é um conjunto ortogonal (mas não necessariamente ortonormal).

( c ) w → e v → são ortogonais.

( d ) w → = 1 .

Passo 1

A primeira coisa que você tem que perceber é que isso se parece MUITO com a fórmula de projeção em base ortogonal! Se liga:

P H b = b , v 1 v 1 , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 , v 2 v 2 + … + b , v n v n , v n v n

Como nesse caso os vetores são ortonormais, temos que v 1 , v 1 = v 2 , v 2 = … = v n , v n = 1 , então:

P H b = b , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 + … + b , v n v n

Agora substituindo as variáveis do problema:

P H v → = v → , q → 1 q → 1 + v → , q → 2 q → 2 + v → , q → 3 q → 3

Opa, então o vetor w → é definido como:

w → = v → - P H v →

Isso já elimina a a . Para as outras letras vamos fazer um desenho pra ficar mais claro:

Usamos um plano pra ficar mais fácil de visualizar, mas sabemos que H é um superplano de dimesão 3 , já que sua base tem 3 elementos. Nesse caso, vemos claramente que w → e v → não são ortogonais, e que w → não necessariamente é igual a 1 !

Por outro lado, vemos que w → é perpendicular a H ! Logo, q → 1 , q → 2 , q → 3 , w → é um conjunto ortogonal! Não podemos afirmar que é ortonormal pois, como vimos, w → não necessariamente é igual a 1 . A letra b é a correta.

Resposta

Letra ( b )

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14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).