Exercícios Resolvidos de Radiação entre Superfícies

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Enunciado

Caracterize analiticamente, provando suas conclusões passo-a-passo, o fator de forma entre a superfície 1 e 2, escrevendo esse fator de forma em função de fatores elementares de forma que esses possam ser encontrados em figuras ou tabelas.

Determine também qual a transferência de calor entre 1 e 2, assumindo que em 1 a temperatura seja de 400   K e em 2 a temperatura seja de 1000   K , sabendo que ambas as superfícies são aço inoxidável, típico, polido. Sabendo também que o meio interno a essa superfície é composto por vácuo.

Passo 1

Usando a regra da superposição, podemos dizer que:

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = A 1 . F 1 → 2,3 + A 4 . F 4 → 2,3

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = A 1 . F 1 → 2 + A 1 . F 1 → 3 + A 4 . F 4 → 2 + A 4 . F 4 → 3

Passo 2

Os fatores de forma F 1,4 → ( 2,3 ) , F 1 → 3 e F 4 → 2 podem ser encontrados pelo gráfico abaixo:

Passo 3

Para calcular o fator de forma F 1 → 2 , ainda precisamos lidar com o fator de forma F 4 → 3 .

Pela regra da simetria:

F 4 → 3 = F 2 → 1

E, pela regra da reciprocidade:

A 1 . F 1 → 2 = A 2 . F 2 → 1

Onde A 2 = A 4 . Dessa forma:

F 2 → 1 = F 1 → 2 . A 1 A 4

Logo:

F 4 → 3 = F 1 → 2 . A 1 A 4

Substituindo na expressão que encontramos no Passo 1:

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = A 1 . F 1 → 2 + A 1 . F 1 → 3 + A 4 . F 4 → 2 + A 4 . F 4 → 3

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = A 1 . F 1 → 2 + A 1 . F 1 → 3 + A 4 . F 4 → 2 + A 4 . F 1 → 2 . A 1 A 4

Agora é só uma questão de arrumar a bagunça:

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = A 1 . F 1 → 2 + A 1 . F 1 → 3 + A 4 . F 4 → 2 + A 1 . F 1 → 2

A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) = 2 A 1 . F 1 → 2 + A 1 . F 1 → 3 + A 4 . F 4 → 2

Passo 4

Como o problema não nos deu a emissividade das superfíciesA transferência de calor será dada por:

q 1 → 2 = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - �� 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 1 → 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Para calcular o fator de forma F 1 → 2 , temos que, considerando cada superfície quadrada e que a distância entre as superfícies é igual ao lado de cada uma delas:

F 1,4 → ( 2,3 ) → L 1 D = 1   ;   L 2 D = 2 → F 1,4 → ( 2,3 ) = 0,3

F 1 → 3 → L 1 D = 1   ;   L 2 D = 1 → F 1 → 3 = 0,2

F 4 → 2 → L 1 D = 1   ;   L 2 D = 1 → F 4 → 2 = 0,2

A 1 = A 4 = L 2

A 1,4 = 2 L 2

Assim:

F 1 → 2 = 1 2 A 1 A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) - A 1 . F 1 → 3 - A 4 . F 4 → 2

F 1 → 2 = 1 2 L 2 2 L 2 × 0,3 - L 2 × 0,2 - L 2 × 0,2

F 1 → 2 = 0,1

Passo 5

A taxa de transferência de calor será:

q 1 → 2 = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 1 → 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

De acordo com a tabela A.11 do Incropera, para aços inoxidáveis, típicos e polidos:

T 1 = 400   K → ε 1 = 0,17

T 2 = 1000   K → ε 2 = 0,3

Dessa forma, considerando A 1 = A 2 = L 2 :

q 1 → 2 = 5,67 × 10 - 8 × 400 4 - 1000 4 1 - 0,17 0,17 L 2 + 1 0,1 L 2 + 1 - 0,3 0,3 L 2

q 1 → 2 = - 3209 L 2   W

Como não temos o valor de L :

q 1 → 2 ' ' = q 1 → 2 L 2

q 1 → 2 ' ' = - 3209   W / m 2

O sinal negativo se dá pelo fato de que, como a superfície 1 possui uma temperatura menor que a superfície 2, o calor na verdade flui de 2 para 1. Logo:

Resposta

F 1 → 2 = 1 2 A 1 A 1,4 . F 1,4 → ( 2,3 ) - A 1 . F 1 → 3 - A 4 . F 4 → 2

q ' ' = 5525   W / m 2

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