UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista de Exercícios, Questão 2.6a.
6. Determine as raízes com suas respectivas multiplicidades das seguintes equações polinomiais:
(a) ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
A ideia por trás desse problema é bem simples, o que temos que fazer é obter as raízes da função .
Como fazemos isso? 🤔
As raízes de uma função são os pontos em que o gráfico corta o eixo , ou seja, quando é igual a no plano cartesiano.
Para obter esses pontos, igualamos a função a e vemos quais valores de faz com que a igualdade seja verdadeira. Porém, nesse caso, temos um polinômio de sexto grau, então o melhor que podemos fazer é fatorar .
Veja só como podemos fazer! 😁
Passo 2
Para esse problema, vamos usar o teorema das raízes racionais.
Nesse teorema, olhamos para o termo independente do polinômio, no caso: e para o termo associado à variável de maior grau, no caso: .
Esse teorema nos diz que as raízes de devem ser múltiplos da razão desses termos.
Ou seja, os valores múltiplos de são, . Já os números múltiplos de é apenas .
Logo, os candidatos a raízes da nossa função serão as raízes das combinações dos múltiplos do termo independente com os múltiplos do termo de maior grau.
Simplificando e eliminando os termos repetidos, temos
Com isso, os candidatos para raízes de são , , e .
Parece magia, não é? 👀
Então o que temos que fazer é substituir esses valores na função e verificar para quais .
Para ...
Opa! é uma raiz de , pois
Agora para :
Como , não é raiz de .
Para ...
Para :
Portanto, possui apenas uma raiz real e é em .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
