Exercícios Resolvidos de Raízes

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Enunciado

Os números a , b ,   c são raízes da equação x 3 - x 2 - 4 x + 4 = 0 . Nessas condições, calcule o valor de

1 a + 1 b + 1 c

Passo 1

Vamos calcular as raízes para determinar isso. Para tal, usamos a pesquisa de raízes novamente.

Se pudermos escrever as raízes na forma p / q :

a n é divisível por q e a 0 divisível por p . Como: a n = 1 ⟹ q = ± 1

Para que seja divisível. Da mesma forma: a 0 = + 4 ⟹ p = ± 4 , ± 2 , ± 1

Assim, as possibilidades para p / q são: p q = ± 4 , ± 2 ,   ± 1

Passo 2

Vamos testar para cada uma das possibilidades: P - 4 = - 4 3 - - 4 2 - 4 - 4 + 4 = - 60 ≠ 0

P 4 = 4 3 - 4 2 - 4 4 + 4 = 36 ≠ 0

P - 2 = - 2 3 - - 2 2 - 4 - 2 + 4 = 0

P 2 = 2 3 - 2 2 - 4 2 + 4 = 0

P - 1 = - 1 3 - - 1 2 - 4 - 1 + 4 = 6 ≠ 0

P 1 = 1 3 - 1 2 - 4 1 + 4 = 0

Logo, as raízes serão: a = - 2 ; b = 2 ; c = 1

Passo 3

Agora só substituir: 1 a + 1 b + 1 c = 1 - 2 + 1 2 + 1 1 = 1  

Resposta

1 a + 1 b + 1 c = 1

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