UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 23
Uma mola, de massa desprezível, está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa abaixo de . Qual a frequência das oscilações? Qual é a velocidade do objeto quando se encontra abaixo da posição inicial? Um objeto de massa é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do primeiro objeto? A que distância abaixo de está a nova posição de equilíbrio (repouso), com dois objetos presos à mola?
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos uma mola, de massa desprezível, e nessa mola está preso um objeto cuja massa nós desconhecemos, essa massa faz com que a mola se estique e ele esteja em equilíbrio na posição
O objeto é então liberado para oscilar a partir de uma posição abaixo deste ponto de equilíbrio. Usando estes dados precisamos obter
Qual a frequência das oscilações? A velocidade do objeto quando se encontra abaixo da posição inicial.
Agora, é preso ao primeiro objeto um segundo objeto de massa
o que diminui a frequência de oscilação do sistema pela metade, com esta informação devemos descobrir a massa do objeto original e também obter
A que distância abaixo de está a nova posição de equilíbrio.
Vamos considerar um MHS vertical usual e tentar usar as definições relacionadas para calcular as grandezas pedidas uma a uma! Vem comigo!
Passo 2
Como não temos o valor da massa original vamos tentar balancear esse sistema usando condições de energia, como a posição mais baixa de oscilação é dada abaixo de , temos que a amplitude de oscilação é tal que
e, sendo assim, a energia mecânica total do sistema é dada por
Quando a mola puxar de volta a partícula, ela irá comprimir a mola até uma posição que é superior à , de forma que teremos uma energia potencial dada por
pela conservação da energia mecânica temos que
usando que
temos a relação
simplificada de forma que temos o balanço
essa expressão é tal que
e, portanto, a frequência pode ser obtida como
ou simplesmente
A primeira alternativa foi isso! Vamos continuar!
Passo 3
Para encontrar agora a velocidade quando a partícula está abaixo de vamos usar novamente a conservação de energia, neste ponto teremos energia cinética e energia potencial gravitacional além da energia potencial elástica, de forma que a energia mecânica é dada por
Se o referencial estiver em , temos que abaixo de obtemos
pela conservação da energia mecânica, isso deve ser igual a energia mecânica no ponto de máxima distensão, ou seja
em que considerei a energia elástica e gravitacional no ponto de distensão máxima. Dividindo tudo por , temos que
de forma que a velocidade é dada por
usando a frequência angular que calculamos anteriormente
Agora vamos avaliar o que ocorre ao colocarmos a segunda partícula presa a primeira!
Passo 4
Ao prender uma massa de ao sistema temos que a frequência do sistema caí pela metade, portanto, temos que
considerando que a mola continua a mesma, temos que
ou simplificando, temos que
ou simplesmente
de forma que
Considerando que era a posição de equilíbrio original, ela garante o seguinte balanço de forças
Se agora temos uma segunda partícula, o sistema se torna
ou seja, a nova posição de equilíbrio é tal que
ou usando os valores que calculamos anteriormente
ou simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
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