UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 22
Uma partícula de executa um MHS com uma amplitude de , uma aceleração máxima de módulo e uma constante de fase desconhecida . Determine o período do movimento a velocidade máxima da partícula e a energia mecânica total do oscilador. Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual o deslocamento é máximo? O deslocamento é metade do deslocamento máximo?
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos uma partícula com massa
em um movimento harmônico simples (MHS) tal que sua amplitude é
e, cuja força gera uma aceleração máxima de módulo
o sistema tem uma fase desconhecida dada por . Nós queremos obter as as seguintes grandezas
o período do movimento a velocidade máxima da partícula e a energia mecânica total do oscilador.
e, por último obter o módulo da força nos pontos em que
o deslocamento é máximo? O deslocamento é metade do deslocamento máximo?
Para fazer isso vamos ter que lembrar a solução do MHS e as relações e identificações que são possíveis de serem feitas a partir desta expressão! Vem comigo!
Passo 2
Para obtermos o período deste MHS precisamos partir de sua frequência angular dada por
nós temos a massa, mas para obter a constante elástica da mola vamos precisar utilizar o módulo da aceleração máxima juntamente com a identificação
Ou simplesmente
Sendo assim, temos que a frequência angular é dada por
de forma que
e usando a relação
temos a frequência
de forma que o período é simplesmente
ou como escrito na resposta
Vamos obter a velocidade máxima agora! Para isso vamos precisar lembrar da solução do MHS, você lembra?
Passo 3
Temos que a solução do MHS com uma fase arbitrária é tal que
a velocidade é obtida derivando a relação acima para obtermos
em particular a velocidade máxima é obtida quando
e, portanto, temos que
Ótimo! Mais uma alternativa já era! Vamos para a próxima!
Passo 4
A energia mecânica do oscilador pode ser obtida diretamente a partir da amplitude de oscilação, note que quando temos a distensão máxima da mola, a energia é puramente potencial, desta maneira podemos identificar que
sendo assim, usando a constante de mola que encontramos anteriormente e a amplitude de oscilação dada, temos que
Como a próxima alternativa dá uma leve mudada de assunto! Vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 5
Queremos agora a força em diferentes pontos, primeiro, queremos a força no ponto de deslocamento máximo! Como esta é uma força elástica que é linearmente proporcional ao deslocamento, podemos garantir que a aceleração máxima está relacionada à força no deslocamento máximo, sendo assim
Agora, queremos quando o deslocamento é metade do deslocamento máximo! Novamente, a força é linearmente proporcional ao deslocamento, sendo assim, temos que se diminuirmos o deslocamento pela metade, a força também cai pela metade, temos então que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
, ; e