Um objeto de massa m oscila em um movimento harmônico simples. Sabendo-se que a distância máxima em relação ao ponto de equilíbrio é dada por A, que o período é T e que no instante t=0 o objeto está na origem, x=0, mas movendo-se na direção –x, mostre que (Obs: Estas equações são válidas para qualquer Oscilador Harmônico Simples):

c) A aceleração máxima do objeto é dada por: a m a x = ω 2 A

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar que a máxima do objeto é

a m a x = ω 2 A

Sabendo-se que a distância máxima em relação ao ponto de equilíbrio é dada por A, que o período é T e que no instante t=0 o objeto está na origem, x=0, mas movendo-se na direção –x. Vamos lembrar que a aceleração é dada pela derivada temporal de v ( t ) e vamos verificar qual é o seu valor máximo. Então vamos lá!

Passo 2

Temos que,

x ( t ) = - A   s e n ( 2   π T   t )

então vamos tomar sua derivada para obter a velocidade do objeto:

v ( t ) = - 2   π T A   c o s ( 2   π T   t ) .

E agora vamos tomar sua derivada para obter a aceleração do objeto:

a ( t ) = ( 2   π T ) 2 A   s e n   ( 2   π T   t ) .

Passo 3

Temos também que a função seno é limitada entre -1 e 1, então a aceleração máxima será quando   s e n   ( 2   π T   t ) = 1 e t = T 4 , pois s e n   ( π 2 ) = 1 , assim:

a m a x = ( 2   π T ) 2 A   ( 1 ) = ( 2   π T ) 2 A = ω 2 A

Sendo, ω = 2   π T . Note que para t = T 4 o x ( T 4 ) = - A , então na posição máxima o objeto tem aceleração máxima.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração do MHS

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