Determine sabendo que
Passo 1
Beleza, galera, esse é mais um exercício de funções vetoriais. Nesse exercício, o enunciado está nos informando quanto vale a derivada da função . Ele quer saber qual é a função que é derivada para dar . Ou seja, ele quer fazer o caminho inverso da derivada!
O caminho inverso da derivada é a integral! Logo, para achar integramos .
Precisamos integrar o que nós já conhecemos, mas ele é uma função vetorial! Como podemos integrar uma função vetorial?
Para integrar uma função vetorial, temos que integrar cada componente dessa função!
Ou seja, para integrar , fazemos:
Para integrar cada componente de vamos precisar usar o que o enunciado nos deu!
Esse é o valor da função quando ! Mas não se preocupe com ele agora. Vamos aprender a usar esse , quando a gente começar a integrar cada componente no próximo passo!
Passo 2
Vamos calcular a integral de cada componente de em passos diferentes.
Nesse passo, vamos integrar a primeira componente de que é . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da primeira componente de .
Então, precisamos saber quanto vale:
A integral aparece tantas vezes em integrais que o valor dessa integral pode ser obtido por tabelas de integração. Se você consultar uma tabela dessas, verá que a integral de é igual a:
O é a constante de integração que sempre precisamos colocar!
Para achar quanto vale essa constante , temos que usar o que o enunciado deu!
A primeira componente de é o valor de quando .
Logo, podemos achar o valor de , substituindo por na integral que achamos.
Lembrando que vale e que é igual a , conseguimos achar .
Substituindo esse valor de na integral , achamos:
Passo 3
Nesse passo, vamos integrar a segunda componente de que é . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da segunda componente de .
Então, precisamos saber quanto vale:
Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de . O fato dessa integral se parecer com uma integral de função mais fácil é um indício de que precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.
Nesse método, criamos uma variável nova que vale:
Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos por .
No entanto, ainda tem um nessa integral. Para integrar, precisamos substituir por .
Para achar quanto vale esse e fazer essa substituição, terivamos em relação a !
Como a constante não interfere na derivada, podemos colocar a constante para fora da derivada. Dessa forma, ficamos com uma derivada de sozinho. Quando está sozinho, a derivada dele vale !
Resumindo, a derivada vale .
Passando para o lado direito e o número para o lado esquerdo, achamos:
Substituindo isso na integral, fica:
Lembrando que constantes não interferem na integral, podemos tirar a fração de dentro da integral.
A integral de também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:
é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!
Agora, precisamos fazer virar novamente.
Acharemos quanto vale no próximo passo!
Passo 4
Para achar quanto vale essa constante , temos que usar o que o enunciado deu!
A segunda componente de é o valor de quando .
Logo, podemos achar o valor de , substituindo por na integral que achamos.
Lembrando que vale e que é igual a , conseguimos achar .
Substituindo esse valor de na integral , achamos:
Passo 5
Nesse passo, vamos integrar a terceira componente de que é . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da terceira componente de .
Então, precisamos saber quanto vale:
Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de . Como essa integral se parece com uma integral de uma função mais fácil precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.
Nesse método, criamos uma variável nova que vale:
Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos por .
No entanto, ainda tem um nessa integral. Para integrar, precisamos substituir por .
Para achar quanto vale esse e fazer essa substituição, terivamos em relação a !
Quando temos uma derivada com somas, podemos derivar cada termo separadamente.
Derivada de constante vale zero. Logo, a derivada de vale .
Além disso a derivada de está sozinho vale !
Resumindo, a derivada vale .
Passando para o lado direito, achamos:
Substituindo isso na integral, fica:
A integral de também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:
é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!
Agora, precisamos fazer virar novamente.
Acharemos quanto vale no próximo passo!
Passo 6
Para achar quanto vale essa constante , temos que usar o que o enunciado deu!
A terceira componente de é o valor de quando .
Logo, podemos achar o valor de , substituindo por na integral que achamos.
Lembrando que vale e que é igual a , conseguimos achar .
Substituindo esse valor de na integral , achamos:
Conseguimos achar as integrais de todas as componentes! Uhulll! Mas calma!
Agora só falta organizar os resultados que a gente encontrou!
A integral do primeiro componente de é o primeiro componente de . A integral do segundo componente de é o segundo componente de e a integral do terceiro componente de é o terceiro componente de .
Pronto! Encerramos por aqui! Parabéns para a gente!