Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:
Passo 1
Como vai, galera! Prontos para mais um exercício de funções vetoriais?
O enunciado quer que a gente calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula. Isso é a mesma coisa que pedir para calcular o comprimento de arco da função vetorial abaixo.
Existe uma fórmula que podemos usar para calcular esse comprimento de arco . No entanto, antes de mostrar essa fórmula, vamos dar um nome para cada componente da função vetorial! Isso vai facilitar a aplicação da fórmula.
Vamos chamar a primeira componente da função vetorial de .
A segunda componente de pode ser chamada de .
Por fim, a terceira componente de pode ser chamada de .
Agora que demos nomes a todas as componentes, fica tranquilo de escrever a fórmula do comprimento de arco .
Nessa fórmula, é a derivada de , é a derivada de e é a derivada de . E o que são esse em cima da integral e esse embaixo da integral?
Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas , e .
Passo 2
Nesse passo, vamos calcular as derivadas , e .
Vamos começar por .
A derivada de uma variável que está sozinha vale . Logo:
Agora podemos partir para o cálculo de .
Para calcular essa derivada, precisamos lembrar que a constante não interfere na derivada e, por isso, pode ser tirada de dentro da derivada!
Restou a gente derivar o . Como o é uma potência de , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de (que no caso vale ). Isso faz o expoente cair na frente de . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos (no caso, esse expoente menor vale ).
Por fim, temos que calcular .
Lembrando que a constante não interfere na derivada, podemos tirar de dentro da derivada!
Restou a gente derivar o . Como o é uma potência de , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de (que no caso vale ). Isso faz o expoente cair na frente de . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos (no caso, esse expoente menor vale ).
Pronto, temos todas as derivadas.
No próximo passo vamos substituir todas as derivadas na fórmula de !
Passo 3
Sem enrolação! Vamos substituir logo as derivadas , e na fórmula de .
Sempre que temos dois números sendo elevados ao mesmo tempo, podemos transformar essa conta em dois números sendo elevados separadamente.
Finalmente podemos integrar e achar , certo?
Não! Temos que encontrar quanto valem os limites de integração e primeiro!
Passo 4
Os valores de e estão escondidos na pergunta da questão no intervalo de que o enunciado mostrou! Olha só:
Logo:
Ah, agora simmm podemos calcular a integral, não é mesmo?
Não de novo! Olha a pressa!
Essa integral é muito difícil de ser calculada do jeito que está! Temos que simplificar ela ainda!
Para isso, temos que perceber que o termo que está dentro da raiz se parece com um produto notável chamado de quadrado perfeito.
Se a gente comparar termo a termo, veremos que, no nosso caso:
Por causa disso, podemos reescrever a parte de dentro da raiz. Como :
Substituindo isso na integral, achamos:
No entanto, calcular a raiz quadrada é mesma coisa que elevar por . Logo:
Quando um número está sendo elevado duas vezes, podemos multiplicar seus dois expoentes. Por isso:
Pronto! Agora sim podemos calcular a integral!
Passo 5
Sempre que uma integral tem várias somas como essa, podemos quebrar ela em integrais menores:
Além disso, precisamos lembrar que a constante não interfere na integral e, por isso, podemos colocar ela pra fora!
Quando temos que integrar uma constante que está sozinha na integral, damos um para fazer companhia a ela!
Para integrar o elevado a algum número, usamos a regra abaixo.
O dessa regra é o expoente do na integral. Nesse caso, vale .
Aplicando a nossa regrinha na nossa integral de , encontramos:
Os limites de integração e estão presentes para lembrar que ainda precisamos usá-los de alguma forma.
Então vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 6
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Usando essa regra, a expressão vira:
Lembrando que vale e que é igual a :
Isso quer dizer que o comprimento do caminho percorrido por uma partícula vale !
Aeee! Mais um exercício pra conta!