Exercícios Resolvidos de Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

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Enunciado

Calcule a derivada da seguinte função vetorial:

r t = s e n - 1 t i - 1 - t 2   j + k

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t i + y ' t j + z ' t k

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = s e n - 1 t i - 1 - t 2   j + k

Lembrando que a função s e n - 1 ( t ) não é seno elevado a - 1 . É a função a r c s e n , que em inglês é chamada de s e n - 1 . E sua derivada é:

d d t s e n - 1 t = 1 1 - t 2

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x g ' ( x )

Então:

r t = d s e n - 1 ( t ) d t i + d 1 - x 2 d t j + d 1 d t k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j + 0 k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j

Resposta

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j