Uma curva tem equação . Encontre o comprimento da curva do ponto ao ponto .
Passo 1
Belezinha, gente? Confiantes para mais um exercício de função vetorial?
Quando o enunciado pede para a gente calcular o comprimento da curva entre dois pontos, ele está pedindo para a gente calcular o comprimento de arco de uma função vetorial.
Mas onde está a função vetorial? O enunciado só nos deu a equação abaixo...
Essa não é uma função vetorial! Como dependemos de uma função vetorial para calcular o comprimento de arco , precisamos transformar a equação acima em uma função vetorial!
A gente faz isso, criando uma nova variável e reescrevendo e em função dessa nova variável! Por exemplo, podemos supor que é igual a .
Podemos agora substituir essa equação de na fórmula de que o enunciado nos deu.
Elevando os dois lados a , achamos:
Quando temos um número sendo elevado várias vezes, podemos multiplicar todos os seus expoentes.
Por último, para finalizar a criação de uma função vetorial que vamos chamar de , vamos considerar que o é o primeiro componente da função vetorial e que o é o segundo componente da função vetorial . Logo:
Criamos a função vetorial. Com ela, conseguimos calcular o comprimento de arco através de uma fórmula.
Essa fórmula será mostrada no próximo passo.
Passo 2
A fórmula do comprimento de arco é:
Nessa fórmula, é a derivada de e é a derivada de .
E o que são esse em cima da integral e esse embaixo da integral?
Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas e . Vamos começar calculando !
Como o é uma potência de , derivamos ele usando a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de (que no caso vale ). Isso faz o expoente cair na frente de . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos (no caso, esse expoente menor vale ).
Já achamos quanto vale a derivada de . Vamos partir para o cálculo da derivada de ! Para isso, temos que lembrar que é igual a .
=
também é uma potência de . Por isso, usamos a regra do peteleco nele também! Nesse caso, o expoente que cai vale e o expoente menor que deixado pra trás vale .
Substituindo essas derivadas na fórmula de , descobrimos a integral que precisamos calcular para achar .
Faltam duas coisas para a gente poder integral essa função. A primeira delas é achar o valor de e . A segunda delas é simplificar a integral.
Primeiro, vamos descobrir os valores de e no próximo passo!
Passo 3
O enunciado pede para a gente calcular o comprimento de uma curva que vai do ponto até o ponto . Para consegui calcular e , a gente tem que entender o que significam esses dois número dos pontos.
O primeiro número é o valor de do ponto e o segundo é o valor de do ponto.
Agora, vamos chamar o ponto de ponto e o ponto de ponto .
No ponto , vale . No ponto , vale .
Agora, vamos calcular quanto vale o no ponto usando a fórmula de abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto , e que .
Falta ainda calcular quanto vale o no ponto usando a fórmula de abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto , e que .
Substituindo e na integral, ela vira:
No próximo passo nós vamos simplificar essa integral.
Passo 4
Para simplificar a integral, vamos mexer dentro da raiz da raiz quadrada. Para isso, temos que lembrar que, quando temos dois números sendo elevados juntos, podemos fazer eles se elevarem separadamente.
Além disso, quando um número está sendo elevado por mais de um expoente, podemos multiplicar os expoentes.
Quando o expoente de um número é negativo, podemos inverter o número!
Multiplicando os numeradores e denominadores da fração, achamos:
Para somar a fração que tem dentro da raiz com o número que tem dentro da raiz, temos que colocar os dois no mesmo denominador. Fazemos isso, multiplicando e dividindo o número por .
Podemos transformar a raiz de uma fração na raiz da parte de cima dividida pela raiz da parte debaixo.
Podemos calcular a raiz de dois termos que estão juntos, calculando a raiz de cada termo separadamente.
Elevar um número a é a mesma coisa que elevar o número a e depois elevar esse mesmo número a .
Elevar um número ao quadrado e depois tirar a raiz dele, é a mesma coisa que calcular o módulo desse número!
O módulo é representado por duas barrinhas na lateral .
Quando termo que está dentro do módulo é negativo, o módulo multiplica esse termo por .
Se o termo que estiver dentro do módulo for maior ou igual a zero, o módulo não faz esse termo mudar!
é negativo, quando o varia de a . No entanto, é positivo, quando o varia de a .
Como o módulo se comporta diferente dependendo do valor de , vamos precisar separar a integral em duas. A integral de a fará a integração em valores negativos de e a integral de a fará a integração em valores positivos de .
O módulo vai multiplicar por , quando a integral for de a e vai manter igual, quando a integral for de a .
Podemos colocar esse sinal de menos do denominador para fora da integral.
Enfim, chegamos em uma integral que podemos calcular!
Tá achando muito difícil calcular essa integral?
Então vamos descobrir como se faz essa integral nos próximos passos!
Passo 5
Essa integral provavelmente te assusta por causa do dentro da raiz quadrada, estou certo?
Se o que atrapalha a gente é esse , porque não tentamos nos livrar dele?
Podemos fazer isso, criando uma nova variável que deve ficar no lugar de .
Chamamos essa técnica de criar uma nova variável para substituir um termo complexo da integral de substituição simples! Ela é uma das técnicas de integração mais importantes!
Sempre que a gente ver uma integral difícil, a gente pode tentar simplificar com essa técnica!
Se a gente substituir por esse , a integral vai ficar:
A cara dela já está melhorzinha, né? Mas ainda não resolvemos nosso problema! Agora temos duas variáveis na integral! Para a gente conseguir integrar, a integral só pode ter uma variável!
No próximo passo a gente vai descobrir como substituir e por e .
Passo 6
Para nos livrar do da integral, temos que substituir o pelo e o pelo . Mas quanto vale o ?
Para descobrir quanto vale , a gente precisa derivar o !
O primeiro passo para derivar esse cara é lembrar que podemos separar a derivada grande em derivadas menores e que podemos tirar as constante de dentro da derivada.
Em segundo lugar, temos que nos lembrar que a derivada de uma constante vale zero. Logo, a derivada de vale zero!
Em último lugar, derivamos usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente cai na frente de e deixa pra trás um expoente menor que vale .
Para fazer a conta de , temos que colocar no mesmo denominador que . Fazemos isso multiplicando e dividindo o número por .
Multiplicando por e dividindo o resultado por , achamos !
Como o expoente de é negativo, podemos inverter para tornar o expoente positivo.
Se a gente passar o para o lado direito e o número para o lado esquerdo da equação, ela fica:
Isso significa que a gente pode substituir o da integral pelo .
Podemos multiplicar os denominadores e . Isso faz aparecer o no denominador
Dividir por é a mesma coisa que multiplicar por . Por isso, podemos transformar o que está dividindo o por .
Agora vamos integrar!
Ainda falta um último passo para ela ficar pronta para ser integrada!
Esses limites de integração , e estavam corretos, quando a integral era de ! Agora que a integral é de , eles precisam ser atualizados.
Passo 7
Agora nós vamos aprender a atualizar os limites de integração!
Nós ainda não vamos descobrir o que precisamos fazer com esses limites de integração, mas precisamos muda-los, já que eles só serviam pra integrais de !
Para atualizar esses limites, temos que usar a equação de !
Para a gente achar o novo limite de integração que valia , temos que substituir o por pelo limite de integração antigo .
Ou seja, o novo limite de integração que valia passa a valer .
Para a gente achar o novo limite de integração que valia , temos que substituir o por pelo limite de integração antigo .
Ou seja, o novo limite de integração que valia passa a valer .
Para a gente achar o novo limite de integração que valia , temos que substituir o por pelo limite de integração antigo .
Ou seja, o novo limite de integração que valia passa a valer .
Podemos inverter os limites de integração da primeira integral, se a gente tirar o sinal de menos da frente da integral.
Agora sim estamos prontos para integrar!
Passo 8
Primeiro, temos que lembrar que a constante não interfere na integral! Logo, ela pode ser tirada da integral!
Depois, precisamos lembrar que calcular a raiz quadrada de um número é a mesma coisa que elevar o número a . Ou seja, é igual a .
Agora está claro que precisamos integrar uma potência de .
Pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de . A regrinha é: soma no expoente e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:
Para usar essa regra, nós temos que lembrar que o expoente de vale .
Logo, vale:
Aplicando essa regra, achamos:
Dividir por é a mesma coisa que multiplicar por . Logo:
Só falta descobrir como usar os limites de integração para resolver tudo! Isso será feito no outro passo!
Passo 9
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Usando essa regra, a expressão vira:
Para descobrir quanto vale e , precisamos o que significa um expoente que é uma fração. A parte debaixo de uma fração indica o índice de uma raiz. Por exemplo, se a parte debaixo da fração vale , a raiz é uma raiz quadrada. A parte de cima da fração mostra por quanto estamos elevando a raiz! Se essa parte de cima vale , estamos elevando a raiz por .
Substituindo esses valores na equação da integral, achamos:
Podemos ver que o aparece junto do e do . Quando isso acontece, podemos tirar o número de dentro do parênteses.
O número aparece em cima da fração pode cortar com o núemro que aparece embaixo da fração! Dessa forma, o vai virar .
Multiplicando o pelo , achamos o número no denominador. Logo:
Isso quer dizer que o comprimento da curva vale: