UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 32a
Considere as matrizes:
e
(a) Mostre que a equação pode ser escrita como e use este resultado para resolver em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Nós precisamos mostrar que dá pra escrever a equação como e, em seguida, resolver a equação achando os valores de . Mas como nós podemos fazer isso?
Bom, nossa primeira ideia é manipular a equação para ver onde vai dar né? Vamos dá uma olhadinha nela:
A gente pode tentar subtrair dos dois lados da equação. Fica assim:
Agora nós precisamos inserir a matriz identidade na equação. Lembra que a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial? É como se eu estivesse multiplicando numa equação numérica. E aí, nós teríamos que .
Substituindo isso na nossa equação ali de cima, temos:
Percebe que já tá mais próximo da equação que nós queremos? Só falta colocar o em evidência, que também é uma operação válida pelas regras da aritmética matricial. Aí nós teremos:
Como queríamos demonstrar. Só falta agora resolver a equação.
Passo 2
Vamos pegar nossa equação e escrever usando as matrizes que o enunciado nos deu:
Fazendo essa subtração de dentro dos parênteses, temos:
Aqui daria pra gente usar a multiplicação das matrizes e resolver o sistema por substituição ou escrever a matriz aumentada e escalonar o sistema. Vamos escolher esse segundo método que vai ser rapidinho.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada do sistema, temos:
Vamos multiplicar pela primeira linha e somar com a segunda:
E multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira:
Multiplicando a segunda linha por :
Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira:
Multiplicando a terceira linha por :
Agora vamos somar vezes a linha na linha e somar vezes a linha na linha :
Por fim, vamos subtrair a linha da linha :
Matriz escalonada, já podemos escrever o sistema. Temos:
Ou, na forma matricial:
Isso significa que o sistema possui somente a solução trivial.
Valeu, galera. Até a próxima! 😉