Quais dos seguintes conjuntos de polinômios pertencentes ao P 2 são L D ?

  1. 2 + x - x 2 ,   - 4 - x + 4 x 2 ,   x + 2 x 2
  2. 1 - x + 2 x 2 ,   x - x 2 ,   x 2
  3. 1 + 3 x + x 2 ,   2 - x - x 2 ,   1 + 2 x - 3 x 2 ,   - 2 + x + 3 x 2
  4. { x 2 - x + 1 , x 2 + 2 x }

Passo 1

Letra a)

Podemos perceber que o terceiro elemento não tem o termo sem o x . Sendo assim, vamos tentar fazer alguma C L dos outros dois polinômios que resulte em um novo polinômio com o elemento sem o x .

Como os dois polinômios são:

2 + x - x 2

- 4 - x + 4 x 2

Para zerar vou fazer o seguinte (Pode zerar multiplicando por qualquer coeficiente):

2 2 + x - x 2 + 1 - 4 - x + 4 x 2 = 4 + 2 x - 2 x 2 - 4 - x + 4 x 2 = x + 2 x 2

Ou seja, exatamente o terceiro polinômio! Então, podemos dizer que o conjunto é L D .

Passo 2

Letra b)

Bom, esse está difícil de ver só no olho, então vamos ter que partir para a C L .

a 1 - x + 2 x 2 + b x - x 2 + c x 2 = 0 ⇒

a - a x + 2 a x 2 + b x - b x 2 + c x 2 = 0 ⇒

2 a + c - b x 2 + - a + b x + a = 0 ⇒

2 a + c - b = 0 ⇒ c = 0 - a + b = 0 ⇒ b = 0 a = 0

E como todos os coeficientes são nulos, então o conjunto é L I .

Passo 3

Letra c)

Bom, esse está mais difícil de ver no olho, então vamos fazer a combinação linear:

a 1 + 3 x + x 2 + b 2 - x - x 2 + c 1 + 2 x - 3 x 2 + d - 2 + x + 3 x 2 = 0 ⇒

a + 3 a x + a x 2 + 2 b - b x - b x 2 + c + 2 c x - 3 c x 2 - 2 d + d x + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d + 3 a - b + 2 c + d x + a - b - 3 c + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d = 0 3 a - b + 2 c + d = 0 a - b - 3 c + 3 d = 0

Como esse sistema está meio grande, é melhor botar numa matriz e escalonar:

1 2 1 - 2 3 - 1 2 1 1 - 1 - 3 3 0 0 0 →           E s c a l o n a n d o           1 2 1 - 2 0 - 7 - 1 7 0 0 - 25 7 2 0 0 0

Como podemos ver, o sistema continua:

a + 2 b + c - 2 d = 0 - 7 b - c + 7 d = 0 - 25 7 c + 2 d = 0

E, portanto, não podemos isolar nenhuma variável. O que significa que alguma terá que ficar em função da outro. Sendo assim, vamos ter infinitas soluções para os coeficientes. Logo, o conjunto é L D .

Letra d)

Essa é bem tranquila. Só temos 2 polinômios e como um não é múltiplo do outro, o conjunto é L I .

Resposta

  1. L D
  2. L I
  3. L D
  4. L I

Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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