UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 38a
38) Seja uma matriz simétrica.
(a) Mostre que é simétrica.
Passo 1
Bomm dia, boa tarde, boa noiteee pessoas lindas!! Se vocês estão perdidinhos nessa questão, caíram no lugar certo. É aqui que vamos resolver ela da maneira mais tranquila possível, igual esse patinho no balanço dele.
Uhuul, bora lá então!
O enunciado começa pedindo pra gente considerar uma matriz simétrica . Mas que matriz é essa?
Uma matriz é considerada simétrica quando esta é igual à sua transposta, ou seja, !
Lembrando aqui que uma matriz transposta se dá quando mudamos a posição das linhas e colunas de uma matriz!
Além disso, o enunciado nos pede para mostrar que é simétrica. Pra isso, vamos lembrar que nada mais é do que .
Mas por que isso é importante aqui?
O produto de duas matrizes simétricas será uma matriz simétrica, se e somente se, as matrizes comutam!
Tá, mas o que isso quer dizer? Como eu sei que comuta?
Vamos pensar isso melhor no passo 2 a seguir!
Passo 2
Quando dizemos que temos duas matrizes que comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas, teremos sempre a mesma resposta!
Ou seja, tomando duas matrizes e , por exemplo. Se , isso significa que elas comutam!
Para o caso desse exercício aqui, como temos a multiplicação de duas matrizes iguais (), podemos dizer que justamente por elas serem iguais, que elas comutam!
Então, desse modo podemos afirmar que é simétrica!!
Bem simples quando paramos para pensar parte por parte, fala aí!!
Bora lá pra próxima questão?