UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 38b
38) Seja uma matriz simétrica.
(b) Mostre que é simétrica.
Passo 1
Opa pessoal, tudo bom?
Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??
O enunciado começa pedindo pra gente considerar uma matriz simétrica . Mas que matriz é essa?
Uma matriz é considerada simétrica quando esta é igual à sua transposta, ou seja, !
Lembrando aqui que uma matriz transposta se dá quando mudamos a posição das linhas e colunas de uma matriz!
Além disso, o enunciado nos pede para mostrar que a operaçãozinha é simétrica.
Tá, mas por onde começo a pensar sobre esse exercício?
Antes de tudo vamos analisar o que temos na expressão que o exercício nos pediu: temos processos de multiplicação e soma com a matriz simétrica e temos também a soma de uma matriz identidade chamada de ali!
Mas o que é a matriz identidade mesmo? A matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a e o restante dos elementos é !
Vamos lá analisar o que está havendo para descobrirmos se o resultado da operação é simétrica ou não!
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte da operação: .
Pra isso, vamos lembrar que nada mais é do que .
Mas por que isso é importante aqui?
O produto de duas matrizes simétricas será uma matriz simétrica, se e somente se, as matrizes comutam!
Tá, mas o que isso quer dizer? Como eu sei que comuta?
Quando dizemos que temos duas matrizes que comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas, teremos sempre a mesma resposta!
Ou seja, tomando duas matrizes e , por exemplo. Se , isso significa que elas comutam!
Para o caso desse exercício aqui, como temos a multiplicação de duas matrizes iguais (), podemos dizer que justamente por elas serem iguais, que elas comutam!
Além disso, quando multiplicamos uma constante (que nesse caso é o ) por uma matriz simétrica, teremos como um resultado uma nova matriz também simétrica.
Então, desse modo podemos afirmar que é simétrica!!
Passo 3
Seguindo para a segunda parte da operação: .
Como mencionado no passo anterior, temos uma constante multiplicando uma matriz simétrica, e, portanto, será uma matriz simétrica!
Então, como e são simétricos, sabemos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica!
Então, é simétrica!
Passo 4
Por fim, sabe-se que toda matriz identidade é simétrica, visto que: , seguindo a regrinha que mencionamos lá no passo 1!
E como no passo 3 afirmamos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica, a expressão é considerada simétrica!
Uhul!! Terminamos pessoal! Bem tranquilinho essa questão, fala aí!
Bora lá pra próxima então?