Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

Ver Teoria
Exercício 1312345678910111214151617

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 4.3

Calcule l i m x → 0 ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 x   e - t 2   d t .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular

l i m x → 0 ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 x   e - t 2   d t

Primeiro vamos mostrar que temos uma indeterminação que nos permite usar a regra de L’Hospital. Em seguida, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo para calcular as derivadas e obter o limite.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos que se aplicarmos o limite

l i m x → 0 ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 x   e - t 2   d t = ∫ 0 0 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 0   e - t 2   d t = 0 0 = I N D

Então, podemos utilizar a regra de L’Hospital:

l i m x �� 0 ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 x   e - t 2   d t = l i m x → 0 d d x ( ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ) d d x ( ∫ 0 x   e - t 2   d t ) .

Passo 3

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

  d d x ( ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ) = c o s ( x 2 2 ) d x 2 d x = 2   x   c o s ( x 4 )

e

  d d x ( ∫ 0 x   e - t 2   d t ) = e - x 2 d x d x = e - x 2

Então,

l i m x → 0 d d x ( ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ) d d x ( ∫ 0 x   e - t 2   d t ) = l i m x → 0 2   x   c o s ( x 4 ) e - x 2

Aplicando o limite:

l i m x → 0 2   x   c o s ( x 4 ) e - x 2 = 0   c o s ( 0 ) e 0 = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 ∫ 0 x 2 c o s ( t 2 ) d t ∫ 0 x   e - t 2   d t = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Nos Exercícios 1-10, determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.14- x = 1 - y 2 , - 1 2 ≤ y ≤ 1 2
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen