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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Exercício 2134567891011121314151617

Enunciado

O comprimento L da curva que é gráfico de y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , é dado pela fórmula

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Calcule L se

f x = ∫ 1 x t 3 - 1 d t ,       p a r a   1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Bom, ele já deu a fórmula do comprimento. Então a questão toda é derivar esse f ( x ) e fazer a nova integral de L . O f ' ( x ) vai sair tranquilamente pelo TFC, o Teorema fundamental:

f ' x = d ∫ 1 x t 3 - 1 d t d x = x 3 - 1 x ' = x 3 - 1

Joga lá agora, Colocando nossos limites de integração sendo 1 e 4 pelo enunciado:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 1 4 1 + x 3 - 1 2 d x

= ∫ 1 4 1 + x 3 - 1 d x = ∫ 1 4 x 3 d x = ∫ 1 4 x 3 2 d x

x 5 2 5 2 1 4 = 2 5 4 5 2 - 1 5 2 = 2 5 2 5 - 1 5

= 2 5 32 - 1 = 2 31 5 = 62 5

Resposta

L = 62 5

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