Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Seja F   :   [ 1 ,   + ∞ [ →   R dada por F ( x ) = ∫ 1 x t 3 - 1   d t .

(a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre x = 1 e x = 4.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o comprimento do gráfico entre x=1 e x=4 de

F ( x ) = ∫ 1 x t 3 - 1   d t

Temos que,

L = ∫ 1 4 1 + ( F ' ( x ) ) 2   d x

Para obter a derivada vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

  F ' ( x ) = x 3 - 1

então, calculando o comprimento

  L = ∫ 1 4 1 + ( F ' ( x ) ) 2   d x = ∫ 1 4 1 + ( x 3 - 1 ) 2   d x = ∫ 1 4 x 3   d x

Então, resolvendo a integral:

L = ∫ 1 4 x 3 2   d x = 2 5 x 5 2 | 1 4 = 2 5 ( 4 5 2 - 1 ) = 2 5 ( 31 ) = 62 5 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L = 62 5 .

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