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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Considere f : 0 ,   + ∞ → R dada por

f x = ∫ 0 x 4 e 2 t - 1 d t

e g : R → R dada por

g x = ∫ 0 sen ⁡ x x 3 e t 2 d t .

  1. Calcule g ' x .
  2. Seja F x = f g x . Calcule F ' π .
  3. Calcule o comprimento do gráfico de f entre x = 0 e x = 1 .

Passo 1

(a)

O termo x 3 não depende de t , então podemos tirar ele pra fora da integral:

g x = x 3 ∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t

Daí, pela regra do produto:

g ' x = 3 x 2 ∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t + x 3 ∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t '

Passo 2

Pra derivar essa integral, vamos aplicar o TFC e a regra da cadeia:

∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t ' = e sen 2 ⁡ x sen ⁡ x ' = e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Então g ' x vai ser:

g ' x = 3 x 2 ∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t + x 3 e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Beleza, matamos a letra (a).

Passo 3

(b)

Pela regra da cadeia:

F x = f g x ⇒ F ' π = f ' g π g ' π

Ou seja, pra achar F ' π , basta calcular g π e g ' π .

Passo 4

Vamos começar calculando g π :

g π = π 3 ∫ 0 sen ⁡ π e t 2 d t = π 3 ∫ 0 0 e t 2 d t

Opa, os 2 limites de integração são iguais, então:

g π = 0

Passo 5

Agora vamos calcular g ' π :

g ' π = 3 π 2 ∫ 0 sen ⁡ π e t 2 d t + π 3 e sen 2 ⁡ π cos ⁡ π

g ' π = 3 π 2 ∫ 0 0 e t 2 d t + π 3 e 0 . - 1

g ' π = 3 π 2 . 0 - π 3

⇒ g ' π = - π 3

Passo 6

Com isso podemos calcular F ' π :

F ' π = f ' g π g ' π = f ' 0 . - π 3

Opa, na verdade faltou ainda calcular f ' x . Pelo TFC:

f x = ∫ 0 x 4 e 2 t - 1 d t ⇒ f ' x = 4 e 2 x - 1

Agora sim:

F ' π = f ' 0 . - π 3 = 4 e 0 - 1 . - π 3

⇒ F ' π = - 3 π 3

Passo 7

(c)

O comprimento do gráfico é dado por:

∫ 0 1 1 + f ' x 2 d x

Vimos que

f ' x = 4 e 2 x - 1

Então

f ' x 2 = 4 e 2 x - 1

1 + f ' x 2 = 4 e 2 x = 2 e x 2 = 2 e x

Então o comprimento do arco é:

∫ 0 1 2 e x d x = 2 e x 0 1 = 2 e 1 - 2 e 0 = 2 e - 2

Resposta

(a)

g ' x = 3 x 2 ∫ 0 sen ⁡ x e t 2 d t + x 3 e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

(b)

F ' π = - 3 π 3

(c)

2 e - 2

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