Origem do Exercício
Supondo que uma função tenha derivada contínua para então o comprimento da parte do gráfico para é:
Calcule o comprimento do gráfico de de até
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Aqui não tem segredo é só aplicar a fórmula que o enunciado deu.
O primeiro passo é calcular a derivada da função:
Parece complicado né? Vamos com calma. Primeiro tiramos a constante:
Agora vamos usar a regra da cadeia, chamando
Resolvendo cada uma dessas derivadas:
E agora é só multiplicar tudo:
Passo 2
Agora vamos voltar para nossa fórmula:
Substituindo os valores, ficamos com a seguinte integral:
Ótimo, agora vamos elevar aquele parênteses ao quadrado:
Agora é só resolver essa integral.
Passo 3
Vamos começar reescrevendo esse polinômio para facilitar nossa vida. É preciso ter alguma intuição aqui:
Percebe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos?
Isso tem cara de produto notável, vamos ver se funciona:
Abrindo isso encontramos:
Ótimo, deu certo de primeira. Vamos colocar isso na integral:
Agora a integral desse polinômio é simples: , então substituindo os limites de integração:
Pronto! Esse é o comprimento do arco!
Resposta
Letra (a).