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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 4.2

Seja F ( x )   = ∫ 0 x   1 + t 3   d t . Calcule   ∫ 0 2 x F ( x ) d x em termos de F(2).

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular

      ∫ 0 2 x F ( x ) d x

Sabendo que F ( x )   = ∫ 0 x   1 + t 3   d t . Vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo e também a integração por partes.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

  1 + x 3 = d d x F ( x )   = d d x ∫ 0 x   1 + t 3   d t

Então, se temos que calcular

    ∫ 0 2 x F ( x ) d x

Vamos utilizar o método de integração por partes   ∫ u   d v = u   v   - ∫ v   d u   .

Passo 3

Utilizando o método de integração por partes, sendo

u = F ( x ) e d v = x   d x

Assim,

d u = 1 + x 3 d x = d d x F ( x )   d x

v = x 2 2 .

A integral fica:

  ∫ 0 2 x F ( x ) d x = F ( x ) x 2 2 | 0 2   - ∫ 0 2 x 2 2 1 + x 3 d x

Passo 4

Resolvendo a segunda integral por substituição simples w = 1 + x 3 ,   d w = 3 x 2 d x

∫ 0 2 x 2 2 1 + x 3 d x = 1 6 ∫ x = 0 2 w   d w = 2 6 ( 1 + x 3 ) 3 2 3 | 0 2 = 2 6 ( 9 ) 3 2 - 1 3 = 26 9

Voltando para a integral

  ∫ 0 2 x F ( x ) d x = 2 F ( 2 ) �� - 26 9 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ∫ 0 2 x F ( x ) d x = 2 F ( 2 )   - 26 9 .

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