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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Seja

F x = ∫ 0 x sec 2 ⁡ t - 2   d t

Calcule o comprimento de arco do gráfico da função F x para x ∈ π 4 , π 3 .

Passo 1

Comprimento de arco não tem erro, é aplicar a fórmula!

∫ π 4 π 3 1 + F ' x 2 d x

Derivamos a F usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

F ' x = sec 2 ⁡ x - 2

Simples assim!

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula:

∫ π 4 π 3 1 + sec 2 ⁡ x - 2 2 d x

= ∫ π 4 π 3 1 + sec 2 ⁡ x - 2   d x = ∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ x - 1   d x

Passo 3

Nessa hora é crucial lembrar da identidade trigonométrica:

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Isso facilita nossa vida pra cacete, a integral vai ficar:

∫ π 4 π 3 tg 2 ⁡ x d x = ∫ π 4 π 3 tg ⁡ x d x

Passo 4

A integral da tangente é bem batida, acho que se você souber de cor não tem problema botar ela direto na prova. Mas se você não lembrar, acha rapidinho!

  ∫ tg ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Fazendo a substituição simples

u = cos ⁡ x ⇒ d u = - sen ⁡ x d x

Temos:

∫ tg ⁡ x d x = - ∫ d u u

= - ln ⁡ u = - ln ⁡ cos ⁡ x

Nem precisa, mas ainda dá pra botar numa outra forma, aproveitando que ln ⁡ 1 = 0 :

∫ tg ⁡ x d x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ cos ⁡ x

Aproveitando também da propriedade do logaritmo que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b :

∫ tg ⁡ x d x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = ln ⁡ sec ⁡ x

Passo 5

Beleza, então o comprimento de arco é igual a:

∫ π 4 π 3 tg ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x π 4 π 3

= ln ⁡ sec ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ π 4

Temos que

cos ⁡ π 3 = 1 2 ⇒ sec ⁡ π 3 = 2

cos ⁡ π 4 = 2 2 ⇒ sec ⁡ π 4 = 2 2 = 2

Então nossa conta vai dar:

ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 2 = ln ⁡ 2

Esse é o valor do comprimento de arco!

Resposta

ln ⁡ 2

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