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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 4.9

Calcule integral ∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x

Vamos fazer isso utilizando o teorema fundamental do cálculo e também o método de integração por partes.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x

utilizando o método de integração por partes ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u , sendo u = ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t e d v = c o s   x   d x .

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

d u = c o s   x   e s e n   x 2 d x .

Temos também que

v = s e n   x .

Então, voltando para a integral

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x = ( s e n   x ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) | π / 2 0 - ∫ 0 π 2 s e n   x   c o s   x   e s e n   x 2 d x .

Passo 3

Analisando o primeiro termo

( s e n   x ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) | π / 2 0 = s e n ( π 2 ) ∫ 1 s e n   π 2   e t 2 d t - s e n   0 ∫ 1 s e n   0   e t 2 d t = ∫ 1 1   e t 2 d t -   0 ∫ 1 0   e t 2 d t = 0

Então, voltando

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x = - ∫ 0 π 2 s e n   x   c o s   x   e s e n   x 2 d x

Fazendo a substituição simples, w = s e n   x e d w = c o s   x   d x , temos

- ∫ 0 π 2 s e n   x   c o s   x   e s e n   x 2 d x = - ∫ 0 1 w   e w 2 d w

Fazendo mais uma substituição simples, k = w 2 e d k = 2   w   d w , temos

- 1 2 ∫ 0 1   e k d k = - 1 2   e k | 0 1 = 1 2 ( 1 - e )

Assim,

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x = 1 2 ( 1 - e ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 π 2 c o s   x ( ∫ 1 s e n   x   e t 2 d t ) d x = 1 2 ( 1 - e ) .

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