Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Seja G ( x )   = ∫ 0 x t ( ∫ 0 t e u 2   d u )   d t . Calcule G ′ (x) e G ′′(x).

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular G ′ (x) e G ′′(x), sendo

G ( x )   = ∫ 0 x t ( ∫ 0 t e u 2   d u )   d t

Para obter as derivadas vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

F ( x ) = ∫ 0 x f ( t )   d t ) ,   F ' ( x ) = f ( x )

Então,

  d d x G ( x ) = d d x ( ∫ 0 x t ( ∫ 0 t e u 2   d u )   d t ) = x ( ∫ 0 x e u 2   d u )

G ' ( x ) = x ∫ 0 x e u 2   d u .

Passo 3

Agora tomando a segunda derivada:

  d d x ( G ' ( x ) ) = d d x ( x ∫ 0 x e u 2   d u ) = ∫ 0 x e u 2   d u + x d d x ( ∫ 0 x e u 2   d u )

então, utilizando novamente o teorema fundamental do cálculo

G " ( x ) ) = ∫ 0 x e u 2   d u + x   e x 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

G ' ( x ) = x ∫ 0 x e u 2   d u , G " ( x ) ) = ∫ 0 x e u 2   d u + x   e x 2 .

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