Em alguma base ortonormal temos os vetores , e
a) Mostre que é base.
b) Se , mostre que .
c) Sabendo que é um vetor tal que , e , determine as coordenadas de na base .
Passo 1
a) Para que seja base, os vetores devem ser L.I.
Vamos ver se isso é verdade fazendo o determinante:
Como o determinante é , concluímos que os 3 vetores são L.I., e portanto, são uma base.
Passo 2
b) Os vetores da base podem ser escritos assim:
Da mesma forma, o vetor que está na base pode ser escrito como
Então, substituindo as expressões que encontramos ali em cima:
Logo
Passo 3
c) Seja
Vamos calcular os produtos internos:
Agora temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas.
Resolvendo esse sistema, temos que
Então
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.
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12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
11. (a) Mostre que os vetores v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,v → 4 = 4,3 , 2,1 Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.(b) Use o Teo
13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema