Em alguma base ortonormal temos os vetores , e
a) Mostre que é base.
b) Se , mostre que .
c) Sabendo que é um vetor tal que , e , determine as coordenadas de na base .
Passo 1
a) Para que seja base, os vetores devem ser L.I.
Vamos ver se isso é verdade fazendo o determinante:
Como o determinante é , concluímos que os 3 vetores são L.I., e portanto, são uma base.
Passo 2
b) Os vetores da base podem ser escritos assim:
Da mesma forma, o vetor que está na base pode ser escrito como
Então, substituindo as expressões que encontramos ali em cima:
Logo
Passo 3
c) Seja
Vamos calcular os produtos internos:
Agora temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas.
Resolvendo esse sistema, temos que
Então
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.