Considere a base ortogonal β = 1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1 . A quinta coordenada do vetor v → = 0 , 5,15,5 , - 10 com relação à base β é:

(Dica: use a ortogonalidade da base para evitar contas!)

( a ) 3

( b ) - 5

( c ) 0

( d ) - 3

Passo 1

Como o enunciado disse, a menos que quera resolver um sistema de 5 equações e 5 variáveis vamos usar a ortogonalidade da base ao nosso favor!

Sabemos que v → pode ser escrito como combinação da base β :

v → β = α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5

Onde:

v = α 1 1,1 , 1,1 , 1 + α 2 1,0 , 0,0 , - 1 + α 3 0,1 , 0 , - 1,0 + α 4 1,1 , - 4,1 , 1 + α 5 1 , - 1,0 , - 1,1

Como queremos a quinta coordenada α 5 , basta fazermos o produto interno com o quinto vetor da base β ! Como a base é ortogonal, todos os demais vetores de β vão ser levados no zero, de modo que ficamos com:

v → , 1 , - 1,0 , - 1,1 = α 5 1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Como tínhamos visto na teoria. Resolvendo os produtos internos:

0,5 , 15,5 , - 10 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = 0 - 5 + 0 - 5 - 10 = - 20

1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4

- 20 = α 5 ∙ 4

α 5 = - 5

Resposta

Letra ( b )

Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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