Considere uma base ortonormal e os vetores , e .
a) Se , é unitário e , mostre que .
b) Se, além disso, e , determine as coordenadas de na base .
Passo 1
a) Pelas propriedades de produto vetorial, sabemos que
Como o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é , temos que
Então
Da fórmula geral de produto vetorial:
Como é unitário,
Racionalizando:
Passo 2
b) Vamos supor que . Como , teremos que . Fazendo esse produto interno temos que:
Além disso, o enunciado nos diz que é uma base ortonormal, então podemos supor . Dessa forma, . Do enunciado temos que , logo:
Então, o vetor é da forma , certo?
Passo 3
No item a, provamos que , então, pela fórmula do módulo de um vetor:
Logo, o vetor pode ser ou .
Resposta
a) Demonstração.
b) ou