Considere uma base ortonormal e os vetores , e .
a) Se , é unitário e , mostre que .
b) Se, além disso, e , determine as coordenadas de na base .
Passo 1
a) Pelas propriedades de produto vetorial, sabemos que
Como o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é , temos que
Então
Da fórmula geral de produto vetorial:
Como é unitário,
Racionalizando:
Passo 2
b) Vamos supor que . Como , teremos que . Fazendo esse produto interno temos que:
Além disso, o enunciado nos diz que é uma base ortonormal, então podemos supor . Dessa forma, . Do enunciado temos que , logo:
Então, o vetor é da forma , certo?
Passo 3
No item a, provamos que , então, pela fórmula do módulo de um vetor:
Logo, o vetor pode ser ou .
Resposta
a) Demonstração.
b) ou
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13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
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9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema