UFPE – Geometria Analítica – 2019.1 – P1 – Questão 2
Em uma base ortonormal são dados os vetores e . Determine as coordenadas dos vetores paralelo a e ortogonal a de modo que .
Passo 1
Já que a gente não tem muitas informações, vamos pegar vetores e genericões:
Agora vamos usar as informações: primeiro ele disse que é paralelo a . Isso quer dizer que é um múltiplo do vetor , tá ligado?
Daqui,
Então .
Passo 2
Beleza, agora vamos olhar pra . A questão diz que ele é ortogonal a . Isso quer dizer o que? Isso aí, que o produto escalar deles é igual a zero!
Então .
Passo 3
A última informação é que a soma de e é igual ao vetor . Bora usar!
Daqui a gente tem um sisteminha!
Da primeira equação, , e substituindo na segunda:
Daí,
E na última já tá pronto, .
Então show, encontramos tudo que precisávamos!
Resposta
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12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
11. (a) Mostre que os vetores v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,v → 4 = 4,3 , 2,1 Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.(b) Use o Teo
13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema