Produto Interno e Complemento Ortogonal
Sejam uma transformação linear e uma base ortonormal de .
O que significa um subconjunto ser ortonormal?
Mostre que para todo vale:
Sejam e . Mostre que
Mostre que ou é a transformação nula ou é sobrejetiva.
Passo 1
Letra
Significa que se e , para todo em .
Se você ficou confuso com toda essa notação, não tem problema algum escrever isso com o bom e velho português. Basta você escrever que o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a .
Passo 2
Letra
Temos que provar que
Mas o que exatamente ele quis dizer?? Basta você perceber que os coeficientes são da forma:
Sabendo que . Generalizando, queremos saber que um vetor , qualquer, pode ser escrito com de uma base ortonormal, com os coeficientes dessa base, sendo o produto interno desse vetor com o vetor de cada base. Matematicamente é isso aqui:
Passo 3
Agora que já sabemos aonde queremos chegar, vamos começar. Vamos desenvolver o lado esquerdo e chegar ao lado direito. Mas vamos desenvolver apenas o ??? Sim. Mas como??
Lembre-se que qualquer vetor pode ser escrito como de uma base, então:
Aplicando o produto interno dos dois lados com um vetor :
Passo 4
Entretanto, estamos esquecendo de uma coisa! Esse é algum dos vetores da base! Então, certamente não podemos zerar todos, já que todo mundo é ortogonal a . E, assim, como é , existe um vetor correspondente a ele que não ira zerar o produto interno, pois o produto interno de um vetor com ele mesmo não dá zero se ele não for o vetor nulo.
Logo, podemos reescrever como:
Mas como a base é ortoNORMAL:
Substituindo na primeira equação:
Passo 5
Letra
Para fazer esse item, precisaremos usar o que provamos na letra anterior. Assim, vamos desenvolver o lado esquerdo, de novo, e chegar no lado direito:
Então temos que desenvolver . E usando os conhecimentos da questão anterior, podemos fazer:
Pela linearidade de : (lembre-se que o produto interno é um número como qualquer outro)
Passo 6
Agora usando a hipótese que .
Usando as propriedades do produto interno, podemos juntar todo mundo:
Passo 7
Letra
Para resolver este item, temos que usar de novo a questão anterior.
Sabendo que
Vamos ver aonde .
Como sabemos que não é ortogonal à , já que é uma desses vetores, o único jeito de zerarmos é com:
ou
Passo 8
Para a primeira opção, se . Pelo TNI, . O que é um absurdo, pois sabemos que , e que a imagem está contida no contradomínio. Logo, não é possível que .
Para a segunda, sabemos que é , no que implica que . Então, , ou seja, quando os coeficientes são nulos, a transformação é nula.
Passo 9
Agora vamos supor que e que pelo menos ou ou seja diferente de zero. Assim, sabemos que e, por isso, . Mas como o contradomínio é , então a dimensão da imagem tem que ser NO MÁXIMO . E, portanto, é sobrejetiva.
Resposta
Significa que se e , para todo em .