Sejam uma transformação linear e uma base ortonormal de .
O que significa um subconjunto ser ortonormal?
Mostre que para todo vale:
Sejam e . Mostre que
Passo 1
Significa que se e , para todo em .
Se você ficou confuso com toda essa notação, não tem problema algum escrever isso com o bom e velho português. Basta você escrever que o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a .
Passo 2
Temos que provar que
Mas o que exatamente ele quis dizer?? Basta você perceber que os coeficientes são da forma:
Sabendo que . Generalizando, queremos saber que um vetor , qualquer, pode ser escrito com de uma base ortonormal, com os coeficientes dessa base, sendo o produto interno desse vetor com o vetor de cada base. Matematicamente é isso aqui:
Passo 3
Agora que já sabemos aonde queremos chegar, vamos começar. Vamos desenvolver o lado esquerdo e chegar no lado direito. Mas vamos desenvolver apenas o ??? Sim. Mas como??
Lembre-se que qualquer vetor pode ser escrito como de uma base, então:
Aplicando o produto interno dos dois lados com um vetor :
Passo 4
Entretanto, estamos esquecendo uma coisa! Esse é algum dos vetores da base! Então, certamente não podemos zerar todos, já que todo mundo é ortogonal a . E, assim, como é , existe um vetor correspondente a ele que não ira zerar o produto interno, pois o produto interno de um vetor com ele mesmo não dá zero se ele não for o vetor nulo.
Logo, podemos reescrever como:
Mas como a base é ortoNORMAL:
Substituindo na primeira equação:
Passo 5
Para fazer esse item, precisaremos usar o que provamos na letra anterior. Assim, vamos desenvolver o lado esquerdo, de novo, e chegar no lado direito:
Então temos que desenvolver . E usando os conhecimentos da questão anterior, podemos fazer:
Pela linearidade de : (lembre-se que o produto interno é um número como qualquer outro)
Passo 6
Agora usando a hipótese que .
Usando as propriedades do produto interno, podemos juntar todo mundo:
Resposta
Significa que se e , para todo em . Em outras palavras, o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a .