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Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Dada a base α = 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 2 .

a) Mostre que α é uma base ortogonal.

b) Escreva o vetor ( 2 ,   1 ,   3 ) na base α .

c) Transforme α em uma base β ortonormal.

Passo 1

a) Para que α seja uma base ortogonal, o produto interno entre seus vetores calculados dois a dois devem sempre ser 0 certo? Então vamos calcular os produtos internos:

1 ,   0 ,   1 . 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 + 0 = 0

1 ,   0 ,   1 . 2 ,   0 ,   - 2 = 2 + 0 - 2 = 0

0 ,   1 ,   0 . 2 ,   0 ,   - 2 = 0 + 0 + 0 = 0

Todos os produtos internos resultaram em 0, logo, realmente a base α é ortogonal :D

Passo 2

b) Como α é uma base ortogonal, podemos calcular as coordenadas de ( 2 ,   1 ,   3 ) utilizando:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Para a primeira coordenada:

α 1 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 1 ,   0 ,   1 ) ⟨ 1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   0 ,   1 ) ⟩

α 1 = 2 + 3 1 + 1 = 5 2

Para a segunda coordenada:

α 2 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) ⟨ ( 0 ,   1 ,   0 ) ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) ⟩

α 2 = 1 1 = 1

Para a terceira coordenada:

α 3 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ⟨ ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ,   ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ⟩

α 3 = 4 - 6 4 + 4 = - 2 8 = - 1 4

Encontramos as 3 coordenadass, então, o vetor ( 2 ,   1 ,   3 ) escrito na base α é:

5 2 ,   1 ,   - 1 4 α

Passo 3

c) α já é uma base ortogonal, agora, para que seja ortonormal, basta dividirmos seus vetores por suas respectivas normas.

Vamos calcular as normas de cada um dos seus vetores:

( 1 ,   0 ,   1 ) = 1 + 1 = 2

( 0 ,   1 ,   0 ) = 1 = 1

( 2 ,   0 ,   - 2 ) = 4 + 4 = 8

Então, a base ortonormal β vai ser

β = 1 2 ,   0 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 8 ,   0 ,   - 2 8

Resposta

a) Demonstração.

b) 5 2 ,   1 ,   - 1 4 α

c) β = 1 2 ,   0 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 8 ,   0 ,   - 2 8

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