Encontre uma base ortonormal que contenha dois vetores paralelos a e . Obtida a base , determine as coordenadas do vetor em dita base.
Passo 1
Primeiro vamos encontrar a base ortogonal para então normalizarmos beleza??
Para que a base seja ortogonal, os dois primeiros vetores podem ser e mesmo, afinal, eles são ortogonais entre si. Já o terceiro vetor deve ser ortogonal a e .
Como podemos encontrar um vetor ortogonal a esses dois? Isso mesmoo, vamos calcular o produto vetorial entre eles:
Legal, então uma base ortogonal é dada por .
Agora vamos normalizar essa base pra ela ficar ortonormal, pra isso, basta dividirmos cada vetor por sua respectiva norma ;)
Passo 2
Vamos encontrar a norma de cada vetor pra depois dividirmos belê?
Então, uma base ortonormal que satisfaz as nossas condições é
Obs 1: repare que, de fato, os dois primeiros vetores são paralelos aos vetores do enunciado, a diferença é que eles possuem norma 1, pois queríamos uma base ortonormal.
Obs 2: essa base é apenas uma das possibilidades que satisfaz as condições, mas poderíamos por exemplo ter escolhido os dois primeiros vetores sendo paralelos a e (mesma direção) mas em outro sentido. Ou na hora de calcular o produto vetorial, poderíamos ter invertido da ordem dos vetores (o resultado só estaria, também, em outro sentido).
Desde que a base final contenha 3 vetores ortogonais e de norma 1, ta tudo certo :)
Passo 3
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor na base usando aquela formulazinha:
Como a base é ortonormal, sempre vai ser 1, então podemos reduzir a fórmula para
A primeira coordenada de na base vai ser:
Segunda coordenada:
Terceira coordenada:
Então, as coordenadas de na base são:
Resposta
(uma das possíveis respostas)