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Calcular o coeficiente de correlação entre e para o caso em que . Mostre todos os passos para se chegar ao resultado final partindo do coeficiente de correlação de e .
Passo 1
Primeira coisa que percebemos quando batemos a cara aí é que essa equação é uma equação da reta:
Mais do que isso, é uma reta decrescente, porque o coeficiente angular é negativo. E nós sabemos que quando existe uma relação linear decrescente perfeita assim, nós temos um coeficiente de correlação igual a . Então:
Agora vamos partir disso aí e tentar provar alguma coisa, uma igualdade que valide nossa afirmação. Lembrando a fórmula do coeficiente:
Passo 2
Vamos igualar essa fórmula ao
Lembrando a fórmula da covariância:
Reescrevendo a igualdade que fizemos usando a notação ao invés de , podemos dizer então que:
Guarda isso aí que agora temos que descobrir quanto vale essa galera!
Passo 3
Agora vamos forcar na nossa função original dada:
Vamos “aplicar” variância dos dois lados:
Pelas propriedades das medidas de dispersão, o sai ao quadrado e o vira zero. Então agora poderíamos escrever em função de . Se nós tirarmos raíz quadrada dos dois lados, também temos que:
Mas a equação que eu pedi para a gente guardar no passo anterior também tem um termo com lá no meio. Para descobrir como escrever esse cara, vamos somar dos dois lados da nossa função original:
Agora “aplicamos” variância dos dois lados de novo e...
Passo 4
Agora vamos relembrar da equação que estamos guardando:
...E escrever tudo que tá aí dentro em função de , com as igualdades que desenvolvemos no passo anterior:
Simplificando isso aí:
Opa! E olha aí no que chegamos, acabamos de provar que o desvio padrão ao quadrado é igual à variância, ou que a raíz da variância é o desvio padrão, como vc preferir! O importante é que provamos que o coeficiente de correlação dessas variáveis é . =)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)