Um jovem casal deseja ter dois filhos. Analisando as condições do casal, o médico afirma que a probabilidade deles terem dois meninos é de 40% e que a chance do primeiro bebê a nascer ser menina é 50%. O médico também informou que se o primeiro filho for menina, a probabilidade condicional do segundo ser menina é de 40%. Denotem as variáveis aleatórias por , se o bebê for menino e , se o bebê for menina no i-ésimo nascimento . Encontre:

1. A distribuição de probabilidade conjunta de e com suas distribuições de probabilidades marginais.
2. A probabilidade do segundo filho do casal também ser um menino, dado que o primeiro foi um menino.
3. A covariância entre e .

Primeiro vamos organizar as informações pra nossa tabela, de acordo com o enunciado.

A prob. de os dois serem meninos é de 0,4, então:

Prob. da primeira ser menina é 0,5:

A última informação é:

De cara a gente já pode pensar que se a prob. do primeiro ser menina é 0,5, então a prob. do primeiro ser menino é 0,5 também, concorda?

Com a última informação do encunciado mais a fórmula da prob. condicional, a gente sabe que:

Já sabendo que .

Com isso a nossa tabela fica a princípio assim.

Vamos completar a tabela, bem tranquilo né? Só lembrar que a soma dos valores do interior da tabela tem que dar igual ao valor da distribuição marginal.

Exemplo:

A tabela completa ficaria assim.

(b)

Prob. condicional que o exercício pede é .

Aplicando a fórmula.

É só pegar todos os valores da tabela.

Da distribuição marginal de .

E:

Substituindo na fórmula.

(c)

Temos que calcular .

Pela fórmula,

Vamos calcular cada parcela aí.

Pra calcular e é só multiplicar cada valor possível dessas variáveis pelas suas respectivas probabilidades né ? Que ficam na distribuição marginal.

Já:

Lembrou ? Multiplica os valores possíveis das variáveis pelos valores de dentro da tabela.

Substituindo na fórmula da covariância.